সৃজনশীলঃ ‘A=((b+c)2a2bc(c+a)2b2ca(a+b)2c2ab),B=(101020301),C=(xyz),D=(121)…’ ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২৩ – ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$\begin{array}{cc}& A=\left(\begin{array}{ccc}(b+c{)}^2& a^2& bc\\ (c+a{)}^2& b^2& ca\\ (a+b{)}^2& c^2& ab\end{array}\right)\\ & \therefore \det A=\left|\begin{array}{ccc}(b+c{)}^2& a^2& bc\\ (c+a{)}^2& b^2& ca\\ (a+b{)}^2& c^2& a^2\end{array}\right|\\ & =\left|\begin{array}{ccc}(b+c{)}^2-a^2& a^2& bc\\ (c+a{)}^2-b^2& b^2& c^2\\ (a+b{)}^2-c^2& c^2& ab\end{array}\right|\\ & =\left|\begin{array}{ccc}(b+c+a)(b+c-a)& a^2& bc\\ (c+a+b)(c+a-b)& b^2& ca\\ (a+b+c)(a+b-c)& c^2& ab\end{array}\right|\\ & =(a+b+c)\left|\begin{array}{ccc}b+c-a& a^2& bc\\ c+a-b& b^2& ca\\ a+b-c& c^2& ab\end{array}\right|\\ & =(a+b+c)\left|\begin{array}{ccc}-2(a-b)& a^2-b^2& -c(a-b)\\ -2(b-c)& b^2-c^2& -a(b-c)\\ a+b-c& c^2& ab\end{array}\right|r_1^{\prime }=r_1-r_2,r_2^{\prime }=r_2-r_3\\ & =(a+b+c)(a-b)(b-c)\left|\begin{array}{ccc}-2& (a+b)& -c\\ -2& b+c& -a\\ a+b-c& c^x& ab\end{array}\right|\\ & =(a+b+c)(a-b)(b-c)\left|\begin{array}{ccc}0& -(c-a)& -(c-a)\\ -2& b+c& -a\\ a+b-c& c^2+\infty )& ab\end{array}\right|r_1^{\prime }=r_1-r_2\\ & =(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)\left|\begin{array}{ccc}0& -1& -1\\ -2& b+c& -a\\ a+b-c& c^2& ab\end{array}\right|\\ & =(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)\left|\begin{array}{ccc}0& 0& -1\\ -2& a+b+c& -a\\ a+b-c& c^2-ab-b& ab\end{array}\right|c_2^{\prime }=c_2-c_3\\ & \end{array}$

$\begin{array}{cc}& =(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)\{0-0-1(-2c^2+2ab-a^2-ab-ac-ab-b^2-bc+ac+bc+c^2)\\ & =(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)(-1)(-a^2-b^2-c^2)\\ & =(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)\end{array}$

= R.H.S (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, 

$\begin{array}{cc}& B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 2& 0\\ 3& 0& 1\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right),D=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right)\\ & \therefore BC=D\\ & \Rightarrow \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 2& 0\\ 3& 0& 1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right)\\ & \Rightarrow \left(\begin{array}{c}x+z\\ 2y\\ 3x+z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right)\end{array}$

$\therefore$ ম্যাট্রিক্সের সমতা থেকে পাই,

x + z = 1

2 y = 2

3x + z = 1

$x,y$ ও $z$ এর সহগের নির্ণায়ক

$\begin{array}{c}D=\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 2& 0\\ 3& 0& 1\end{array}\right|=1(2-0)-0(0-0)+1(0-6)\end{array}$

$\Rightarrow D=2-6$

$\therefore D=-4\ne 0$ : অব্যতিত্রমী ম্যাট্রিক্স।

$\therefore$ ধ্রুবক পদ $y$ ও $z$ এর সহগের নির্ণায়ক

$\begin{array}{c}{D}_x=\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 2& 2& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right|\\ & =1(2-0)-0(2-0)+1(0-2)\\ & =2-0-2\\ & =0\end{array}$

$\therefore$x এর সহগ ধ্রুবক পদ ও z এর সহগের নির্ণায়ক,

$\begin{array}{c}{D}_y=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 2& 0\\ 3& 1& 1\end{array}\right|\\ & =1(2-0)-1(0-0)+1(0-6)\\ & =2-0-6\\ & =-4\end{array}$

$\therefore$x, y এর সহগ ও ধ্রুবক পদের নির্ণায়ক,

$\begin{array}{cc}{D}_z=\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 2& 2\\ 3& 0& 1\end{array}\right|& =1(2-0)-0(0-0)+1(0=6)\\ & =2=0=6\\ & =-4\end{array}$

$\begin{array}{cc}& \therefore x=\frac{Dx}{D}=\frac{0}{-4}=0\\ & \therefore y=\frac{Dy}{D}=\frac{-4}{-4}=1\\ & \therefore z=\frac{Dz}{D}=\frac{-4}{-4}=1\end{array}$

$\therefore$ নির্ণেয় সমাধান : $(x,y,z)=(0,1,1)$