সৃজনশীলঃ ‘A,B⊂N

দেওয়া আছে, $g\left(x\right)=\frac{x-5}{3x+1}$ এবং $h\left(x\right)=x^2+1$

(hog) $\left(x\right)=h\left(g\right(x\left)\right)=h\left(\frac{x-5}{3x+1}\right)={\left(\frac{x-5}{3x+1}\right)}^2+1$

$\therefore \left(\mathrm{hog}\right)\left(1\right)={\left(\frac{1-5}{3.1+1}\right)}^2+1={\left(\frac{-4}{3+1}\right)}^2+1={\left(\frac{-4}{4}\right)}^2+1$

$=(-1{)}^2+1=1+1=2$

$\left(goh\right)\left(x\right)=g\left(h\right(x\left)\right)=g(x^2+1)$

$=\frac{x^2+1-5}{3\cdot (x^2+1)+1}=\frac{x^2-4}{3x^2+3+1}=\frac{x^2-4}{3x^2+4}$

$\left(goh\right)\left(2\right)=\frac{2^2-4}{{3.2}^2+4}=\frac{4-4}{3.4+4}=\frac{0}{12+4}=0$

বামপক্ষ = (hog) (1)-(goh) (2) 

= 2-0=2 = ডানপক্ষ

$\therefore ($ hog $\left)\right(1)-(g\circ h\left)\right(2)=2$. (দেখানো হলো)

এখানে, $A,B\subset R;B=R-\left\{\frac{1}{3}\right\};g:A\to B;g\left(x\right)=\frac{x-5}{3x+1}$

ধরি, $x_1,x_2\in R$

$g\left(x_1\right)=g\left(x_2\right)$ হলে, $\frac{x_1-5}{3x_1+1}=\frac{x_2-5}{3x_2+1}$

বা, $3x_1{x}_2+x_1-15x_2-5=3x_1{x}_2-15x_1+x_2-5$

বা, $3x_1{x}_2+x_1-3x_1{x}_2+15x_1=x_2-5+15x_2+5$

বা, $16x_1=16x_2$

বা, $x_1=\frac{16x_2}{16}$

বা, $x_1=x_2$

$\therefore g\left(x\right)$ একটি এক-এক ফাংশन।

আবার, ধরি, $y=g\left(x\right)=\frac{x-5}{3x+1}$

এখন, $y=\frac{x-5}{3x+1}$

বা, $3xy+y=x-5$

বা, $3xy-x=-y-5$

বা, $x(3y-1)=-y-5$

বা, $x=\frac{-y-5}{3y-1}=\frac{-(y+5)}{-(1-3y)}=\frac{y+5}{1-3y}$

$g\left(\frac{y+5}{1-3y}\right)=\frac{\frac{y+5}{1-3y}-5}{3\cdot \frac{y+5}{1-3y}+1}=\frac{\frac{y+5-5+15y}{1-3y}}{\frac{3y+15+1-3y}{1-3y}}=\frac{\frac{16y}{1-3y}}{\frac{16}{1-3y}}$

$\therefore g\left(\frac{y+5}{1-3y}\right)=y$

$\therefore g\left(x\right)$ একটি সার্বিক ফাংশন।

সুতরাং $g^{-1}\left(x\right)$ নির্ণয়যোগ্য।

আবার, $y=g\left(x\right)$

বা, $g^{-1}\left(y\right)=x$

এখন, $x=\frac{y+5}{1-3y}$

বা, $g^{-1}\left(y\right)=\frac{y+5}{1-3y}$

বা, $g^{-1}\left(x\right)=\frac{x+5}{1-3x}$

নির্ণেয় $g^{-1}\left(x\right)=\frac{x+5}{1-3x}$.