সৃজনশীলঃ ‘A বৃত্ত: x2+y2−2x+4y−31=0B…’ নটরডেম কলেজ ২০২৪ – বৃত্ত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, A বৃত্তের সমীকরণণ, $x^2+y^2-2x+4y-31=0$
যার কেন্দ্র $(1,-2)$
এবং ব্যাসার্ধ $=\sqrt{(-1{)}^2+(2{)}^2-(-31)}=6$ একক
B বৃত্তের সমীকরণ, $x^2+y^2+4x-4y+7=0$
যার কেন্দ্র $(-2,2)$
এবং ব্যাসার্ধ $=\sqrt{(2{)}^2+(-2{)}^2-7}=1$ একক

ধরি, A ও B বৃত্তের সাধারণ বিন্দু $C(x,y)$

$\therefore C(x,y)$ বিন্দু $(1,-2)$ ও $(-2,2)$ বিন্দুর সংযোজক রেখাকে 6:1 অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে।

$\begin{array}{ccc}x& =\frac{6\times (-2)-1\times 1}{6-1}& y=\frac{6\times 2-1\times (-2)}{6-1}\\ & =\frac{-12-1}{5}=-\frac{13}{5}& =\frac{12+2}{5}=\frac{14}{5}\end{array}$

$\therefore$ বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ বিন্দু, $C(-\frac{13}{5},\frac{14}{5})$ (Ans.) বৃত্তদ্বয়ের কেন্দ্রগামী ব্যাসার্ধের ঢাল $=\frac{2-(-2)}{-2-1}=\frac{4}{-3}$

$\therefore$ স্পর্শকের ঢাল $=\frac{-1}{\frac{4}{-3}}=\frac{3}{4}$.

$\therefore$ C $(-\frac{13}{5},\frac{14}{5})$ বিন্দুগামী $\frac{3}{4}$ ঢালবিশিষ্ট ম্পর্শকের সমীকরণ,

$(y-\frac{14}{5})=\frac{3}{4}(x+\frac{13}{5})$ বা, $5y-14=\frac{3}{4}(5x+13)$

বা, $20y-56=15x+39$ বা, $15x-20y+95=0$

$\therefore 3x-4y+19=0$ (Ans.)

নির্ণেয় অন্তর্বৃত্ত $x$ অক্ষ, $y$ অক্ষ এবং $3x+4y-12=0$ রেখাকে স্পর্শ করে।

$\therefore$ অন্তর্বৃত্তটির সমীকরণ, $(x-a{)}^2+(y-a{)}^2=a^2\dots \dots \dots$ (i)

যার কেন্দ্র $(a,a)$ এবং ব্যাসার্ধ $=a$ একক

$3x+4y-12=0$ রেখাটি বৃত্তের স্পর্শক হলে, $\frac{|3a+4a-12|}{\sqrt{3^2+4^2}}=a$

বা, $|7a-12|=5a$ বা, $7a-12=\pm 5a$

ধণাত্মক মান নিয়ে,

$7a-12=5a$

বা, $2a=12$

$\therefore a=6$

' ঋণাত্মক মান নিয়ে,

$7a-12=-5a$

বা, $12a=12$

$\therefore a=1$

[কিন্তু $△OPQ$ এর বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য 6 একক হতে কম, তাই $a\ne 6$ ]

$a=1$ (i) নং এ বসিয়ে পাই,

$(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=1^2$

বা, $x^2-2x+1+y^2-2y+1=1$

$\therefore x^2+y^2-2x-2y+1=0$ (Ans.)