সৃজনশীলঃ ‘A=(k+x2)5 এবং B=4+44+444+………’ বরিশাল বোর্ড ২০২৪ – দ্বিপদী বিস্তৃতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $B=4+44+444+........$

মনে করি, $B$ ধারাটির $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি,

$S_n=4+44+444+\dots \dots \dots ..+n$ তম পদ

$=4(1+11+111+\dots \dots ...+n$ তম পদ)

$=\frac{4}{9}(9+99+999+\dots ...+n$ তম পদ)

$=\frac{4}{9}\left\{\right(10-1)+(100-1)+(1000-1)+\dots ..+n$ তম পদ)

$=\frac{4}{9}\{10+100+1000+\dots ..+n$ তম পদ) $-(1+1+1+\dots .+n$ তম পদ)

$=\frac{4}{9}\{10+{10}^2+{10}^3+\dots \dots .+n$ তম পদ )$-n\}$

$=\frac{4}{9}\{\frac{10({10}^n-1)}{10-1}-n\}=\frac{4}{9}\{\frac{10({10}^n-1)}{9}-n\}$

$=\frac{40}{81}({10}^n-1)-\frac{4n}{9}$

নির্ণেয় $B$ ধারাটির প্রথম $n$-সংখ্যক পদের সমষ্টি $\frac{40}{81}({10}^n-1)-\frac{4n}{9}$.

দেওয়া আছে, $A={(k+\frac{x}{2})}^5$

দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার করে পাই,

$\begin{array}{cc}A={(k+\frac{x}{2})}^5=& k^5+{}^5{C}_1\cdot k^{5-1}\left(\frac{x}{2}\right)+{}^5{C}_2\cdot k^{5-2}{\left(\frac{x}{2}\right)}^2\\ & +{}^5{C}_3\cdot k^{5-3}{\left(\frac{x}{2}\right)}^3+{}^5{C}_4\cdot k^{5-4}{\left(\frac{x}{2}\right)}^4+{\left(\frac{x}{2}\right)}^5\\ =& k^5+5k^4\cdot \frac{x}{2}+\frac{5\cdot 4}{2\cdot 1}\cdot k^3\cdot \frac{x^2}{4}+\frac{5\cdot 4\cdot 3}{3\cdot 2\cdot 1}\cdot k^2\cdot \frac{x^3}{8}+\frac{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}\cdot k\cdot \frac{x^4}{16}+\frac{x^5}{32}\\ =& k^5+\frac{5k^{4}x}{2}+\frac{5k^3{x}^2}{2}+\frac{5k^2{x}^3}{4}+\frac{5k^4}{16}+\frac{x^5}{32}\end{array}$

শর্তমতে,

$k^5+\frac{5k^{4}x}{2}+\frac{5k^3{x}^2}{2}+\frac{5k^2{x}^3}{4}+\frac{5{\mathrm{kx}}^4}{16}+\frac{x^5}{32}=32-\mathrm{px}+{\mathrm{qx}}^2+{\mathrm{rx}}^3+\dots \dots$

উভয়পক্ষ হতে ধ্রুব পদ, $x,x^2$ এবং $x^3$ এর সহগ সমীকৃত করে পাই,

$k^5=32$

বা, $k^5=2^5$

$\therefore k=2$

$-p=\frac{5k^4}{2}$

বা, $p=-\frac{{5.2}^4}{2}=-40$

$q=\frac{5k^3}{2}=\frac{{5.2}^3}{2}=20$

এবং $r=\frac{5k^2}{4}=\frac{{5.2}^2}{4}=5$

নির্ণেয় মান : $p=-40,q=20$ এবং $r=5$.