সৃজনশীলঃ ‘A=[xyyzzxx2y2z2xyz]…’ বরিশাল বোর্ড ২০২৫ – ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $A=\left[\begin{array}{ccc}xy& yz& zx\\ x^2& y^2& z^2\\ x& y& z\end{array}\right]$

$\therefore |A|=\left|\begin{array}{ccc}xy& yz& zx\\ x^2& y^2& z^2\\ x& y& z\end{array}\right|$

$=xyz\left|\begin{array}{ccc}y& z& x\\ x& y& z\\ 1& 1& 1\end{array}\right|$

$=xyz\left|\begin{array}{ccc}y-x& z-x& x\\ x-z& y-z& z\\ 1-1& 1-1& 1\end{array}\right|$

$\left[\begin{array}{c}\because c_1^{\prime }=c_1-c_3\\ c_2^{\prime }=c_2-c_3\end{array}\right]$

$=xyz\left|\begin{array}{ccc}y-x& z-x& x\\ x-z& y-z& z\\ 0& 0& 1\end{array}\right|$

$=xyz\left|\begin{array}{cc}y-x& z-x\\ x-z& y-z\end{array}\right|$

$=xyz\left\{\right(y-x\left)\right(y-z)-(x-z\left)\right(z-x\left)\right\}$

$=xyz(y^2-yz-xy+zx-zx+x^2+z^2-zx)$

$=xyz(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$

$=xyz\times \frac{1}{2}(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx)$

$=\frac{1}{2}xyz(x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+z^2-2zx+x^2)$

$=\frac{1}{2}xyz\left\{\right(x-y{)}^2+(y-z{)}^2+(z-x{)}^2\}$

$|A|=0$ এবং $xyz\ne 0$ হলে, $(x-y{)}^2+(y-z{)}^2+(z-x{)}^2=0$

কতগুলো বর্গরাশির যোগফল শূন্য হলে, তাদের প্রত্যেকটি রাশির মান আলাদা আলাদাভাবে শূন্য হয়।

$\therefore (x-y{)}^2=0$

বা, $x-y=0$

বা, $x=y$

এবং $(y-z{)}^2=0$

বা, $y-z=0$

বা, $y=z$

এবং $(z-x{)}^2=0$

বা, $z-x=0$

বা, $z=x$

$\therefore x=y=z$. (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $A=\left[\begin{array}{ccc}xy& yz& zx\\ x^2& y^2& z^2\\ x& y& z\end{array}\right]$

$x=y=z=1$ হলে, $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right]$

$\therefore A+2I_3$

$=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right]+2\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}3& 1& 1\\ 1& 3& 1\\ 1& 1& 3\end{array}\right]=B$ (ধরি)

$\therefore |B|=\left|\begin{array}{ccc}3& 1& 1\\ 1& 3& 1\\ 1& 1& 3\end{array}\right|$

$=3(9-1)-1(3-1)+1(1-3)$

$=24-2-2=20\ne 0$

$\therefore B^{-1}$ নির্ণয়যোগ্য।

Adj $B={\left[\begin{array}{ccc}{B}_{11}& B_{12}& B_{13}\\ B_{21}& B_{22}& B_{23}\\ B_{31}& B_{32}& B_{33}\end{array}\right]}^T$

B এর সহগসমূহ,

$B_{11}=\left|\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 3\end{array}\right|=9-1=8.$

$B_{12}=-\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 3\end{array}\right|=-(3-1)=-2$

$B_{13}=\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& 1\end{array}\right|=1-3=-2$

$B_{21}=-\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 3\end{array}\right|=-(3-1)=-2$

$B_{22}=\left|\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 3\end{array}\right|=9-1=8$

$B_{23}=-\left|\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 1\end{array}\right|=-(3-1)=-2$

$B_{31}=\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 3& 1\end{array}\right|=1-3=-2$

$B_{32}=-\left|\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 1\end{array}\right|=-(3-1)=-2$

$B_{33}=\left|\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 3\end{array}\right|=9-1=8$

$AdjB={\left[\begin{array}{ccc}8& -2& -2\\ -2& 8& -2\\ -2& -2& 8\end{array}\right]}^T$

$=\left[\begin{array}{ccc}8& -2& -2\\ -2& 8& -2\\ -2& -2& 8\end{array}\right]$

$\therefore {(A+2I_3)}^{-1}=B^{-1}$

$=\frac{1}{\left|B\right|}\mathrm{Adj}B=\frac{1}{20}\left[\begin{array}{ccc}8& -2& -2\\ -2& 8& -2\\ -2& -2& 8\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}\frac{8}{20}& \frac{-2}{20}& \frac{-2}{20}\\ \frac{-2}{20}& \frac{8}{20}& \frac{-2}{20}\\ \frac{-2}{20}& \frac{-2}{20}& \frac{8}{20}\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}\frac{2}{5}& -\frac{1}{10}& -\frac{1}{10}\\ -\frac{1}{10}& \frac{2}{5}& -\frac{1}{10}\\ -\frac{1}{10}& -\frac{1}{10}& \frac{2}{5}\end{array}\right]$

নির্ণেয় ${(A+2I_3)}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{2}{5}& -\frac{1}{10}& -\frac{1}{10}\\ -\frac{1}{10}& \frac{2}{5}& -\frac{1}{10}\\ -\frac{1}{10}& -\frac{1}{10}& \frac{2}{5}\end{array}\right]$.