সৃজনশীলঃ ‘A−1=[1252373513];B=[81221]…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০২৫ – ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 5\\ 2& 3& 7\\ 3& 5& 13\end{array}\right],$

$B=\left[\begin{array}{c}8\\ 12\\ 21\end{array}\right]$ এবং $P=\left[\begin{array}{ccc}x& y& z\end{array}\right]$

$\therefore P^t={\left[\begin{array}{ccc}x& y& z\end{array}\right]}^t=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$

এখন, $B=A^{-1}{P}^t$

বা, $\left[\begin{array}{c}8\\ 12\\ 21\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 5\\ 2& 3& 7\\ 3& 5& 13\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$

বা, $\left[\begin{array}{c}8\\ 12\\ 21\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x+2y+5z\\ 2x+3y+7z\\ 3x+5y+13z\end{array}\right]$

$\therefore \left[\begin{array}{c}x+2y+5z\\ 2x+3y+7z\\ 3x+5y+13z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}8\\ 12\\ 21\end{array}\right]$

ম্যাট্রিক্সের সমতা অনুসারে,

$x+2y+5z=8$

$2x+3y+7z=12$

এবং $3x+5y+13z=21$

$x,y,z$ এর সহগ গুচ্ছ নিয়ে গঠিত নির্ণায়ক,

$D=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 5\\ 2& 3& 7\\ 3& 5& 13\end{array}\right|$

$=1(39-35)-2(26-21)$$+5(10-9)$

$=4-10+5=-1$

এখন, $D_x=\left|\begin{array}{ccc}8& 2& 5\\ 12& 3& 7\\ 21& 5& 13\end{array}\right|$

$=8(39-35)-2(156-147)$$+5(60-63)$

$=8\times 4-2\times 9+5\times (-3)$

$=32-18-15=-1$

$D_y=\left|\begin{array}{ccc}1& 8& 5\\ 2& 12& 7\\ 3& 21& 13\end{array}\right|$

$=1(156-147)-8(26-21)$$+5(42-36)$

$=9-40+30=-1$

এবং $D_z=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 8\\ 2& 3& 12\\ 3& 5& 21\end{array}\right|$

$=1(63-60)-2(42-36)$$+8(10-9)$

$=3-12+8=-1$

$\therefore x=\frac{D_x}{D}=\frac{-1}{-1}=1;$

$y=\frac{D_y}{D}=\frac{-1}{-1}=1$

এবং $z=\frac{D_z}{D}=\frac{-1}{-1}=1$

$\therefore P(x,y,z)=(1,1,1)$

নির্ণেয় $P=(1,1,1)$.

দেওয়া আছে, $A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 5\\ 2& 3& 7\\ 3& 5& 13\end{array}\right]$

যেহেতু, A. $A^{-1}=A^{-1}\cdot A=1$

বা, A. $A^{-1}=I$

বা, A. $A^{-1}\cdot {\left(A^{-1}\right)}^{-1}=I\cdot {\left(A^{-1}\right)}^{-1}$

বা, A. $I={\left(A^{-1}\right)}^{-1}$

$\therefore A=C^{-1}[A^{-1}=C$ ধরে]

এখন, $C=A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 5\\ 2& 3& 7\\ 3& 5& 13\end{array}\right]$

$\therefore |C|=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 5\\ 2& 3& 7\\ 3& 5& 13\end{array}\right|$

$=1(39-35)-2(26-21)$$+5(10-9)$

$=4-10+5=-1\ne 0$

$\therefore C$ নির্ণয়যোগ্য

$\mathrm{Adj}C={\left[\begin{array}{ccc}{C}_{11}& C_{12}& C_{13}\\ C_{21}& C_{22}& C_{23}\\ C_{31}& C_{32}& C_{33}\end{array}\right]}^T$

C এর সহগুণকসমূহ:

$C_{11}=\left|\begin{array}{cc}3& 7\\ 5& 13\end{array}\right|=39-35=4$

$C_{12}=-\left|\begin{array}{cc}2& 7\\ 3& 13\end{array}\right|=-(26-21)=-5$

$C_{13}=\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 3& 5\end{array}\right|=10-9=1$

$C_{21}=-\left|\begin{array}{cc}2& 5\\ 5& 13\end{array}\right|=-(26-25)=-1$

$C_{22}=\left|\begin{array}{cc}1& 5\\ 3& 13\end{array}\right|=13-15=-2$

$C_{23}=-\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 5\end{array}\right|=-(5-6)=1$

$C_{31}=\left|\begin{array}{cc}2& 5\\ 3& 7\end{array}\right|=14-15=-1$

$C_{32}=-\left|\begin{array}{cc}1& 5\\ 2& 7\end{array}\right|=-(7-10)=3$

$C_{33}=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 3\end{array}\right|=3-4=-1$

$\therefore AdjC={\left[\begin{array}{ccc}4& -5& 1\\ -1& -2& 1\\ -1& 3& -1\end{array}\right]}^T$

$=\left[\begin{array}{ccc}4& -1& -1\\ -5& -2& 3\\ 1& 1& -1\end{array}\right].$

$\therefore A=C^{-1}=\frac{1}{\left|C\right|}\mathrm{Adj}C$

$=\frac{1}{-1}\left[\begin{array}{ccc}4& -1& -1\\ -5& -2& 3\\ 1& 1& -1\end{array}\right].$

$\therefore A=\left[\begin{array}{ccc}-4& 1& 1\\ 5& 2& -3\\ -1& -1& 1\end{array}\right]$

বামপক্ষ $=B^{t}A$

$=\left[\begin{array}{c}8\\ 12\\ 21\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}-4& 1& 1\\ 5& 2& -3\\ -1& -1& 1\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}8& 12& 21\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}-4& 1& 1\\ 5& 2& -3\\ -1& -1& 1\end{array}\right]$

$=[-32+60-21$

$8+24-21$

$8-36+21]$

$=\left[\begin{array}{ccc}7& 11& -7\end{array}\right]=$ ডানপক্ষ

$\therefore B^{t}A=\left[\begin{array}{ccc}7& 11& -7\end{array}\right].$ (দেখানো হলো)