সৃজনশীলঃ ‘A−1=[1−32−33−12−10], B=[3+x424x+2323x+4]…’ ২০২৫ – ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে$A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1& -3& 2\\ -3& 3& -1\\ 2& -1& 0\end{array}\right]$

যেহেতু, $A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I$

বা, $A\cdot A^{-1}=I$

বা, $A\cdot A^{-1}{\left(A^{-1}\right)}^{-1}=I\cdot {\left(A^{-1}\right)}^{-1}$

বা, $I\cdot A={\left(A^{-1}\right)}^{-1}$

$\therefore A=E^{-1}[E=A^{-1}$ ধরে]

এখন, $E=A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1& -3& 2\\ -3& 3& -1\\ 2& -1& 0\end{array}\right]$

$E^{-1}$ নির্ণয় করতে হরে।

$|E|=\left|\begin{array}{ccc}1& -3& 2\\ -3& 3& -1\\ 2& -1& 0\end{array}\right|$

$=1(0-1)+3(0+2)+2(3-6)$

$=-1+6-6=-1\ne 0$

$\therefore E^{-1}$ নির্ণয়যোগ্য।

$\mathrm{Adj}E={\left[\begin{array}{ccc}{E}_{11}& E_{12}& E_{13}\\ E_{21}& E_{22}& E_{23}\\ E_{31}& E_{32}& E_{33}\end{array}\right]}^T$

E এর সহগুণক সমূহ:

$E_{11}=\left|\begin{array}{cc}3& -1\\ -1& 0\end{array}\right|=0-1=-1,$

$E_{12}=-\left|\begin{array}{cc}-3& -1\\ 2& 0\end{array}\right|=-(0+2)=-2$

$E_{13}=\left|\begin{array}{cc}-3& 3\\ 2& -1\end{array}\right|=3-6=-3$

$E_{21}=-\left|\begin{array}{cc}-3& 2\\ -1& 0\end{array}\right|=-(0+2)=-2$

$E_{22}=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 0\end{array}\right|=0-4=-4$

$E_{23}=-\left|\begin{array}{cc}1& -3\\ 2& -1\end{array}\right|=-(-1+6)=-5$

$E_{31}=\left|\begin{array}{cc}-3& 2\\ 3& -1\end{array}\right|=3-6=-3$

$E_{32}=-\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ -3& -1\end{array}\right|=-(-1+6)=-5$

$E_{33}=\left|\begin{array}{cc}1& -3\\ -3& 3\end{array}\right|=3-9=-6$

$\therefore \text{ Adj }E={\left[\begin{array}{ccc}-1& -2& -3\\ -2& -4& -5\\ -3& -5& -6\end{array}\right]}^T$

$=\left[\begin{array}{ccc}-1& -2& -3\\ -2& -4& -5\\ -3& -5& -6\end{array}\right]=-\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 5\\ 3& 5& 6\end{array}\right]$

$\therefore A=E^{-1}=\frac{1}{\left|E\right|}\text{ Adj }E$

অর্থাৎ, $A=\frac{-1}{-1}\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 5\\ 3& 5& 6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 5\\ 3& 5& 6\end{array}\right]$

নির্ণেয় $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 5\\ 3& 5& 6\end{array}\right]$

দেওয়া আছে, $B=\left[\begin{array}{ccc}3+x& 4& 2\\ 4& x+2& 3\\ 2& 3& x+4\end{array}\right]$

$\det \left(B\right)=0$হলে,$\left|\begin{array}{ccc}3+x& 4& 2\\ 4& x+2& 3\\ 2& 3& x+4\end{array}\right|=0$

বা, $(3+x)\left\{\right(x+2\left)\right(x+4)-9\}-4(4x+16-6)+2(12-2x-4)=0$

বা, $(3+x)(x^2+6x+8-9)-4(4x+10)+2(8-2x)=0$

বা, $3x^2+18x-3+x^3+6x^2-x-16x-40+16-4x=0$.

বা, $x^3+9x^2-3x-27=0$

বা, $x^2(x+9)-3(x+9)=0$

বা, $(x+9)(x^2-3)=0$

হয়, $x+9=0$

বা, $x=-9$

অথবা, $x^2-3=0$

বা, $x^2=3$

$\therefore x=\pm \sqrt{3}$

$\therefore x=-9,\sqrt{3},-\sqrt{3}$

সবগুলো মূলই বাস্তব।

$B$ এর ট্রেস $=3+x+x+2+x+4=3x+9$

এখন, $x=-9$ হলে,

$B$ এর ট্রেস $=3\times (-9)+9=-27+9=-18$

$x=\sqrt{3}$ হলে,

$B$ এর ট্রেস$=3\left(\sqrt{3}\right)+9=3\sqrt{3}+9=9+3\sqrt{3}$

$x=-\sqrt{3}$ হলে

$B$ এর ট্রেস$=3\times (-\sqrt{3})+9=-3\sqrt{3}+9=9-3\sqrt{3}$

নির্ণেয় $A$এর ট্রেস : $-18,9+3\sqrt{3},9-3\sqrt{3}$.