সৃজনশীলঃ ‘A=2π15,α+β+γ=π এবং cos⁡α=cos⁡βcos⁡γ…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০১৭ – সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $A=\frac{2\pi }{15}$

বামপক্ষ $=16\cos A\cos 2A\cos 4A\cos 7A$

$=\frac{8}{\sin A}(2\sin A\cos A)\cos 2A\cos 4A\cos 7A$

$=\frac{4}{\sin A}(2\sin 2A\cos 2A)\cos 4A\cos 7A$

$=\frac{2}{\sin A}(2\sin 4A\cos 4A)\cos 7A$

$=\frac{1}{\sin A}(2\sin 8A\cos 7A)=\frac{1}{\sin A}(\sin 15A+\sin A)$

$=\frac{1}{\sin A}(\sin 2\pi +\sin A)[\because 2\pi =15A]$

$=\frac{1}{\sin A}(0+\sin A)=1=$ ডানপক্ষ 

$\therefore 16\cos A\cos 2A\cos 4A\cos 7A=1$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $\alpha +\beta +\gamma =\pi$ বা, $\beta +\gamma =\pi -\alpha$

এবং $\cos \alpha =\cos \beta \cos \gamma$

ডানপক্ষ $=\tan \beta +\tan \gamma =\frac{\sin \beta }{\cos \beta }+\frac{\sin \gamma }{\cos \gamma }$

$=\frac{\sin \beta \cos \gamma +\cos \beta \sin \gamma }{\cos \beta \cos \gamma }=\frac{\sin (\beta +\gamma )}{\cos \alpha }$

$=\frac{\sin (\pi -\alpha )}{\cos \alpha }=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\tan \alpha =$ বামপক্ষ 

$\therefore \tan \alpha =\tan \beta +\tan \gamma$ (দেখানো হলো)