সৃজনশীলঃ ‘A¯=2ı^+3ȷ^−k^,B¯=2ı^+ȷ^+k^,C¯=aı^−7ȷ^+10k^…’ রাজশাহী বোর্ড ২০১৯ – ভেক্টর, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $\overline{A}=2\hat{ı}+3\hat{ȷ}-\hat{k},\overline{B}=2\hat{ı}+\hat{ȷ}+\hat{k}$ এবং $\overline{C}=a\hat{ı}-7\hat{ȷ}+10\hat{k}$

$\begin{array}{cc}& \overline{A}\times \overline{B}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{ı}& \hat{ȷ}& \hat{k}\\ 2& 3& -1\\ 2& 1& 1\end{array}\right|\\ & =\hat{ı}(3+1)-(2+2)\hat{ȷ}+\hat{k}(2-6)=4\hat{ı}-4\hat{ȷ}-4\hat{k}\end{array}$

$\overline{A}$ ও $\overline{B}$ দ্বারা গঠিত সমতলের উপর লম্ব

একক ভেক্টর, $\hat{\eta }=\frac{\overline{A}\times \overline{B}}{|\overline{A}\times \overline{B}|}=\frac{4\hat{ı}-4\hat{ȷ}-4\hat{k}}{\sqrt{16+16+16}}=\frac{4\hat{ı}-4\hat{ȷ}-4\hat{k}}{4\sqrt{3}}$

বা, $\hat{\eta }=\frac{1}{\sqrt{3}}(\hat{ı}-\hat{ȷ}-\hat{k})$

$\hat{\eta }$ ও $\overline{C}$ পরস্পর লম্ব হলে, $\hat{\eta }.\overline{C}=0$

বা, $\frac{1}{\sqrt{3}}(\hat{ı}-\hat{ȷ}-\hat{k})\cdot (a\hat{ı}-7\hat{ȷ}+10\hat{k})=0$

বা, $\frac{a}{\sqrt{3}}+\frac{7}{\sqrt{3}}-\frac{10}{\sqrt{3}}=0$

বা, $a+7-10=0$

বা, $a-3=0$

$\therefore a=3$

নির্ণেয় মান, $a=3$

$PC$ রেখার ঢাল $=\frac{1-2}{5-3}=\frac{-1}{2}$

$\because PC\perp QR$

$\therefore QR$ রেখার ঢাল $=-\frac{1}{\frac{-1}{2}}=2$

$QR$ রেখার সমীকরণ: $y-5=2(x-1)$

বা, $y-5=2x-2$

বা, $2x-y+3=0............\left(i\right)$

QC রেখার ঢাল $=\frac{5-2}{1-3}=\frac{3}{-2}$

$\therefore QC\perp PR$

$\therefore PR$ রেখার ঢাল $=-\frac{1}{-\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}$

$PR$ রেখার সমীকরণ; $y-1=\frac{2}{3}(x-5)$

বা, $3y-3=2x-10$

বা, $2x-3y-7=0...........\left(ii\right)$

(i) নং হতে (ii) নং বিয়োগ করে পাই,

$2x-y+3-2x+3y+7=0$

বা, $2y+10=0$

বা, $2y=-10$

$\therefore y=-5$

(i) নং এ $y=-5$ বসিয়ে পাই,

$2x+5+3=0$

বা, $2x=-8$

$\therefore x=-4$

$\therefore \mathrm{QR}$ ও PR রেখার ছেদবিন্দু R $(-4,-5)$

$△PQR$ এর ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}5& 1& 1\\ 1& 5& 1\\ -4& -5& 1\end{array}\right|$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}\left\{5\right(5+5)+1(-4-1)+1(-5+20\left)\right\}$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}(50-5+15)=\frac{1}{2}\times 60=30$ বর্গ একক

$\therefore$ নির্ণেয় $△PQR$ এর ক্ষেত্রফল 30 বর্গ একক।