সৃজনশীলঃ ‘A→=2i^−2j^+2k^ এবং B→=i^−3j^+6k^…’ যশোর বোর্ড ২০২৫ – ভেক্টর, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

ধরি, ভেক্টরদ্বয় $\overrightarrow{A}$ ও $\overrightarrow{B}$ এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ $=\alpha$

এবং লব্ধি ভেক্টর $\overrightarrow{R},\overrightarrow{A}$ এর সাথে  $\theta$ কোণ উৎপন্ন করে।

তাহলে, $\theta ={\tan }^{-1}\frac{B\sin \alpha }{A+B\cos \alpha }$

$\begin{array}{cc}& ={\tan }^{-1}\frac{B\sin \alpha }{B+B\cos \alpha }[\because A=B]\\ & ={\tan }^{-1}\frac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha }={\tan }^{-1}\frac{2\sin \frac{\alpha }{2}\cdot \cos \frac{\alpha }{2}}{2{\cos }^2\frac{\alpha }{2}}\\ & ={\tan }^{-1}\frac{\sin \frac{\alpha }{2}}{\cos \frac{\alpha }{2}}={\tan }^{-1}\tan \frac{\alpha }{2}=\frac{\alpha }{2}\end{array}$

অতএব, লব্ধি ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

এখানে, $\overrightarrow{A}=2\hat{i}-2\hat{j}+2\hat{k}$ এবং $\overrightarrow{B}=\hat{i}-3\hat{j}+6\hat{k}$

এখন, $\overrightarrow{B}$ বরাবর $\overrightarrow{A}$ এর লম্ব অভিক্ষেপ,

$\begin{array}{cc}A\cos \theta =\frac{\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}}{B}& =\frac{(2\hat{i}-2\hat{j}+2\hat{k})\cdot (\hat{i}-3\hat{j}+6\hat{k})}{\sqrt{1^2+(-3{)}^2+6^2}}\\ & =\frac{2+6+12}{\sqrt{46}}\end{array}$

= 2.95 একক

অতএব, ভেক্টর $\overrightarrow{B}$ বরাবর ভেক্টর $\overrightarrow{A}$ এর লম্ব অভিক্ষেপ 2.95 একক।

এখানে, $\overrightarrow{A}=2\hat{i}-2\hat{j}+2\hat{k}$ এবং $\overrightarrow{B}=\hat{i}-3\hat{j}+6\hat{k}$

$\therefore \overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}=(2\hat{i}-2\hat{j}+2\hat{k})+(\hat{i}-3\hat{j}+6\hat{k})=3\hat{i}-5\hat{j}+8\hat{k}$

এবং $\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}=(2\hat{i}-2\hat{j}+2\hat{k})-(\hat{i}-3\hat{j}+6\hat{k})=\hat{i}+\hat{j}-4\hat{k}$

এখন, $\overrightarrow{A}$ ও $\overrightarrow{B}$ এর মধ্যবর্তী কোণ ${\theta }_1$ হলে,

$\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}=\mathrm{AB}\cos {\theta }_1$

বা, $\cos {\theta }_1=\frac{\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}}{AB}=\frac{(2\hat{i}-2\hat{j}+2\hat{k})\cdot (\hat{i}-3\hat{j}+6\hat{k})}{\sqrt{2^2+(-2{)}^2+2^2}\times \sqrt{1^2+(-3{)}^2+6^2}}$

$=\frac{2+6+12}{\sqrt{12}\times \sqrt{46}}$

বা, ${\theta }_1={\cos }^{-1}\left(\frac{20}{\sqrt{12\times 46}}\right)={31.65}^{\circ }$

আবার, $(\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B})$ ও $(\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B})$ এর মধ্যবর্তী কোণ ${\theta }_2$ হলে,

$(\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B})\cdot (\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B})=|(\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B})||(\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B})|\cos {\theta }_2$.

বা, $\cos {\theta }_2=\frac{(\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B})\cdot (\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B})}{\left|\right(\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}\left)||\right(\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}\left)\right|}$

$\begin{array}{cc}& =\frac{(3\hat{i}-5\hat{j}+8\hat{k})\cdot (\hat{i}+\hat{j}-4\hat{k})}{\sqrt{3^2+(-5{)}^2+8^2}\times \sqrt{1^2+1^2+(-4{)}^2}}\\ & =\frac{3-5-32}{\sqrt{9+25+64}\times \sqrt{1+1+16}}\end{array}$

বা, ${\theta }_2={\cos }^{-1}\left(\frac{-34}{\sqrt{98\times 18}}\right)={144.05}^{\circ }$

এখানে, ${\theta }_1\ne {\theta }_2$

সুতরাং, উদ্দীপকের আলোকে ${\theta }_1={\theta }_2$ হওয়া সম্ভব না।