সৃজনশীলঃ ‘A→=2i^+3j^+5k^⋅B→=−i^+2j^+7k^ এবং C→=i^+7j^−k^…’ ঢাকা বোর্ড ২০২৪ – ভেক্টর, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

$\hat{i}$ হলো x অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর। $\hat{i}$ একটি একক ভেক্টর হওয়ায় এর মান 1 একক।

আমরা জানি,  $\overrightarrow{A}$ ও  $\overrightarrow{B}$  দুটি ভেক্টর রাশি পরস্পর $\theta$ কোণে ক্রিয়াশীল হলে,

এদের স্কেলার গুণন, $\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}=AB\cos \theta$

যেখানে, $\theta \le \theta \le \pi$

তাহলে, $\hat{i}\cdot \hat{i}=|\hat{i}||\hat{i}|\cos 0^{\circ }=1\times 1\times 1=1$

অর্থাৎ $\hat{i}$ এর মান 1 এবং $\hat{i}$ ও $\hat{i}$ এর মধ্যবর্তী কোণ $0^{\circ }$ হওয়ায় $\hat{i}.\hat{i}=1$ হবে। এ কারণে $\hat{i}\cdot \hat{i}$$\ne 0$.

এখানে, $\overrightarrow{A}=2\hat{i}+3\hat{j}+5\hat{k}$ এবং $\overrightarrow{B}=-\hat{i}+2\hat{j}+7\hat{k}$

$\overrightarrow{A}$ বরাবর $\overrightarrow{B}$ এর অভিক্ষেপ, $B\cos \theta =$ ?

আমরা জানি, $\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}=AB\cos \theta$

বা, $\begin{array}{cc}B\cos \theta =\frac{\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}}{A}& =\frac{(2\hat{i}+3\hat{j}+5\hat{k})\cdot (-\hat{i}+2\hat{j}+7\hat{k})}{\sqrt{2^2+3^2+5^2}}\\ & =\frac{-2+6+35}{\sqrt{38}}=\frac{39}{\sqrt{38}}\end{array}$

অতএব, $\overrightarrow{A}$ বরাবর $\overrightarrow{B}$ এর অভিক্ষেপ $\frac{39}{\sqrt{38}}$.

এখানে, $\overrightarrow{A}=2\hat{i}+3\hat{j}+5\hat{k};\overrightarrow{B}=-\hat{i}+2\hat{j}+7\hat{k}$

এবং $\overrightarrow{C}=\hat{i}+7\hat{j}-\hat{k}$

ভেক্টর তিনটি একই সমতলে থাকবে যদি  $\overrightarrow{A}\cdot (\overrightarrow{B}\times \overrightarrow{C})=0$ হয়।

এখন$\begin{array}{cc}\text{ এখন, }\overrightarrow{B}\times \overrightarrow{C}& =\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ -1& 2& 7\\ 1& 7& -1\end{array}\right|\\ & =\hat{i}(-2-49)-\hat{j}(1-7)+\hat{k}(-7-2)\\ & =-51\hat{i}+6\hat{j}-9\hat{k}\\ \therefore \overrightarrow{A}\cdot (\overrightarrow{B}\times \overrightarrow{C})& =(2\hat{i}+3\hat{j}+5\hat{k})\cdot (-51\hat{i}+6\hat{j}-9\hat{k})\\ & =2\times (-51)+(3\times 6)+5\times (-9)\\ & =-102+18-45=-129\end{array}$

অর্থাৎ, $\overrightarrow{A}.(\overrightarrow{B}\times \overrightarrow{C})\ne 0$

সুতরাং, উদ্দীপকের ভেক্টর তিনটি একই সমতলে থাকবে না।