সৃজনশীলঃ ‘A→=2i^−3j^+k^,B→=3i^−j^+5k^ এবং C→=3i^+2j^−4k^…’ ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২৪ – ভেক্টর, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

$\hat{i}\times \hat{j}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right|=\hat{i}(0-0)-\hat{j}(0-0)+\hat{k}(1-0)=\hat{k}$

এখানে, $\hat{i}$ ও $\hat{j}$ যথাক্রমে x ও y অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর। এদের ক্রস গুণফলের মান হবে এক একক এবং দিক হবে এদের সমতলের লম্ব দিক। যা  $\hat{k}$ দিয়ে সূচিত হয়। ফলে $\hat{i}\times \hat{j}=\hat{k}$

এখানে, $\overrightarrow{A}=2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}$ এবং $\overrightarrow{B}=3\hat{i}-\hat{j}+5\hat{k}$

$\overrightarrow{A}$ ও $\overrightarrow{B}$ কে সন্নিহিত বাহু ধরে সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল, $|\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}|=$ ? 

আমরা জানি,

বর্গএকক$\begin{array}{cc}\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}& =\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ 2& -3& 1\\ 3& -1& 5\end{array}\right|\\ & =\hat{i}(-15+1)-\hat{j}(10-3)+\hat{k}(-2+9)\\ & =-14\hat{i}-7\hat{j}+7\hat{k}\\ \therefore |\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}|& =\sqrt{(-14{)}^2+(-7{)}^2+7^2}\\ & =\sqrt{196+49+49}\\ & =\sqrt{294}\\ & =7\sqrt{6}\text{ বর্গ একক }\end{array}$

অতএব, $\overrightarrow{A}$ এবং $\overrightarrow{B}$ কে সন্নিহিত বাহু ধরে সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল $7\sqrt{6}$বর্গ একক।

এখানে, $\overrightarrow{A}=2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}$

$\therefore |\overrightarrow{A}|=\sqrt{2^2+(-3{)}^2+1^2}=\sqrt{14}$ একক 
$\overrightarrow{B}=3\hat{i}-\hat{j}+5\hat{k}$
$\therefore |\overrightarrow{B}|=\sqrt{3^2+(-1{)}^2+5^2}=\sqrt{35}$ একক 

এবং $\overrightarrow{C}=3\hat{i}+2\hat{j}-4\hat{k}$
$\therefore |\overrightarrow{Q}|=\sqrt{3^2+2^2+(-4{)}^2}=\sqrt{29}$ একক

$|\overrightarrow{A}|,|\overrightarrow{B}|$ ও $\left|\overrightarrow{C}\right|$  কোনো সমকোণী ত্রিভুজের তিনটি বাহু হলে, এর ক্ষুদ্র দুই বাহুর বর্গের সমষ্টি অপর বাহুর বর্গের সমান হবে।

এখন, ত্রিভুজটির ক্ষুদ্র দুই বাহুর বর্গের সমষ্টি,

$\begin{array}{cc}|\overrightarrow{A}{|}^2+|\overrightarrow{C}{|}^2& =(\sqrt{14}{)}^2+(\sqrt{29}{)}^2\\ & =14+29=43\end{array}$

এবং অপর বাহুর বর্গ  $=|\overrightarrow{B}{|}^2=(\sqrt{35}{)}^2=35$

এখানে, $|\overrightarrow{A}{|}^2+|\overrightarrow{C}{|}^2\ne |\overrightarrow{B}{|}^2$

সুতরাং উদ্দীপকে ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে না।