সৃজনশীলঃ ‘A→=2i^+3j^−k^;B→=4i^+Pj^−2k^ইশা ও ইমা…’ সরকারি হাজী মুহাম্মদ মহসিন কলেজ ২০২৬ – ভেক্টর, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

কোনো ভারী বস্তুকে অনুভূমিকের কোনো কোণে একটি নির্দিষ্ট মানের বলে টানা হলে বলের অনুভূমিক উপাংশ বস্তুটিকে সামনের দিকে নিয়ে যায়। m ভরের কোনো বস্তুকে F বলে অনুভূমিকের সাথে $\theta$ কোণে টানা হলে বলের F cos $\theta$ অংশ বস্তুটিকে সামনের দিকে নিয়ে যাবে। এখানে $\theta$ এর মান যত কম হবে F cos $\theta$ এর মান তত বেশি হবে। একারণে কোনো ভারী বস্তুকে টানার সময় অনুভূমিকের সাথে স্বল্প কোণে টানা হয়।

এখানে, $\overrightarrow{A}=2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}$ এবং $\overrightarrow{B}=4\hat{i}+P\hat{j}-2\hat{k}\overrightarrow{A}$ ও $\overrightarrow{B}$ সমান্তরাল হলে, $\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}=0$
এখন, $\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ 2& 3& -1\\ 4& P& -2\end{array}\right|=\hat{i}(-6+P)-\hat{j}(-4+4)+\hat{k}(2P-12)$
$=(P-6)\hat{i}+2(P-6)\hat{k}$
শর্তমতে, $\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}=(p-6)\hat{i}+2(P-6)\hat{k}=0.\hat{i}+0.\hat{k}$
সমীকরণটির $\hat{i}$ এবং $\hat{k}$ এর সহগ সমীকৃত করে পাই,

$P-6=0$

আবার, $2(P-6)=0$
$\therefore P=6\therefore P-6=0$
$\therefore P=6$

অতএব, P এর মান 6 হলে $\overrightarrow{A}$ ও $\overrightarrow{B}$ সমান্তরাল হবে।

এখানে, $\overrightarrow{A}=2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}$ এবং $\overrightarrow{B}=4\hat{i}+P\hat{j}-2\hat{k}$
মনে করি, $\overrightarrow{A}$ ও $\overrightarrow{B}$ এর মধ্যবর্তী কোণ পরিবর্তন করে $\theta$ করলে ডট গুণন এবং ক্রস গুগনের মান সমান হয়।
এখন, $|\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}|=|\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}|$ বা, $\mathrm{AB}\cos \theta =\mathrm{AB}\sin \theta$
বা, $\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=1$ বা, $\tan \theta =1\therefore \theta ={\tan }^{-1}\left(1\right)={45}^{\circ }$
অর্থাৎ, $\overrightarrow{A}$ ও $\overrightarrow{B}$ এর মধ্যবর্তী কোণ ${45}^{\circ }$ তে পরিবর্তন করলে ডট গুণন এবং ক্রস গুণনের মান সমান হয়।
সুতরাং, তাদের সিদ্ধান্ত সঠিক হবে।