সৃজনশীলঃ ‘A→=2i^+4j^+2k^,B→=3i^+3j^+4k^এবং C→=i^+2j^+k^…’ ঢাকা বোর্ড ২০২১ – ভেক্টর, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

সরল ছন্দিত স্পন্দন সম্পন্ন বস্তুটির ত্বরণ শূন্য হয় যখন বস্তুটি সর্বোচ্চ বিস্তার থেকে সাম্যাবস্থায় আসে কিন্তু তখন ঐ সময় তার বেগ হয় সর্বোচ্চ। কাজেই আমরা বলতে পারবো যে, বেগ শূন্য হলে ত্বরণ থাকবে। কিন্তু ত্বরণ যে সবসময় থাকবে আমরা বলতে পারবো না।

এখানে,

$\begin{array}{cc}& \overrightarrow{A}=2\hat{i}+4\hat{j}+2\hat{k}\\ & \overrightarrow{B}=3\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}\end{array}$

$\overrightarrow{B}$ ও $\overrightarrow{A}$ ভেক্টর দ্বারা গঠিত সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল হবে $\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}$ ভেক্টরের মান অর্থাৎ,

$|\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}|$

এখন, $\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ 2& 4& 2\\ 3& 3& 4\end{array}\right|$

$\begin{array}{cc}& =\hat{i}\left\{\right(4\times 4)-(3\times 2\left)\right\}-\hat{j}\left\{\right(4\times 2)-(2\times 3\left)\right\}+\\ & \hat{k}\left\{\right(2\times 3)-(3\times 4\left)\right\}\\ & =\hat{i}(16-6)-\hat{j}(8-6)+\hat{k}(6-12)\end{array}$

$\therefore \overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}=10\hat{i}-2\hat{j}-6\hat{k}$

সুতরাং, $|\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}|=\sqrt{{10}^2+(-2{)}^2+(-6{)}^2}=2\sqrt{35}$

অতএব, $\overrightarrow{B}$ ও $\overrightarrow{A}$ ভেক্টর দ্বারা গঠিত সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল $2\sqrt{35}$ বর্গ একক।

এখানে,

$\overrightarrow{A}=2\hat{i}+4\hat{j}+2\hat{k};\overrightarrow{B}=3\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}$

$\overrightarrow{C}=\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$

$\overrightarrow{A},\overrightarrow{B}$ ও $\overrightarrow{C}$ ভেক্টর তিনটি সমতলীয় হবে যদি যেকোনো দুটি ভেক্টরের ক্রস গুণফল ও অপর ভেক্টরের ডট গুণফল শূন্য হয়। অর্থাৎ,

$(\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B})\cdot \overrightarrow{C}=0$ অথবা, $(\overrightarrow{B}\times \overrightarrow{C})\cdot \overrightarrow{A}=0$ অথবা, $(\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{C})\cdot \overrightarrow{B}=0$ হয়।

এখন, $\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ 2& 4& 2\\ 3& 3& 4\end{array}\right|$

$\begin{array}{cc}& =\hat{i}\left\{\right(4\times 4)-(3\times 2\left)\right\}-\hat{j}\left\{\right(2\times 4)-(3\times 2\left)\right\}+\\ & \hat{k}\left\{\right(2\times 3)-(3\times 4\left)\right\}\\ & =\hat{i}(16-6)-\hat{j}(8-6)+\hat{k}(6-12)\end{array}$

$\therefore \overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}=10\hat{i}-2\hat{j}-6\hat{k}$

আবার,

$\begin{array}{cc}(\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}):\overrightarrow{C}& =(10\hat{i}-2\hat{j}-6\hat{k})\cdot (\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k})\\ & =10\times 1+2\times (-2)+1\times (-6)\\ & =10-4-6=0\end{array}$

$\therefore (\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B})\cdot \overrightarrow{C}=0$

যেহেতু, $(\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B})\cdot \overrightarrow{C}=0$

অতএব, শর্তানুসারে ভেক্টর তিনটি সমতলীয়।