সৃজনশীলঃ ‘A→=3ı^+2ȷ^+k^,B→=ı^+2ȷ^+3k^এবং C→=ı^+2ȷ^+2k^ ভেক্টরত্রয়…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০২৩ – ভেক্টর, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

লন রোলার ঠেলার ক্ষেত্রে:

লন রোলারের ঠেলার সময় F বল প্রয়োগ করা হলে $\theta$ কোণে ভূমির সাথে, তা দুইটি উপাংশে বিভক্ত হয় যার একটি Fsin$\theta$ ওজন বরাবর কাজ করে।

$\therefore$ আপাত ওজন = W + F sin$\theta$

এজন্য লন রোলার ঠেলার সময় ওজন বেড়ে যায় এবং লন রোলারকে ভারী মনে হয়।

এখানে

$\begin{array}{c}\overrightarrow{A}=3\hat{ı}+2\hat{ȷ}+\hat{k},\\ \overrightarrow{B}=\hat{ı}+2\hat{ȷ}+3\hat{k}\end{array}$

এখন, $\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}=(3\hat{ı}+2\hat{ȷ}+\hat{k})(\hat{ı}+2\hat{ȷ}+3\hat{k})$ 

বা, $\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}=\left(3\right)\times \left(1\right)+\left(2\right)\times \left(2\right)+\left(1\right)\times \left(3\right)$

= 3+4+3 = 10

$\therefore \overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}=10$

এবং $|\overrightarrow{B}|=B=\sqrt{(1{)}^2+(2{)}^2+(3{)}^2}=\sqrt{14}$

আমরা জানি,

$\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}=AB\cos \theta$
বা, $A\cos \theta =\frac{\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}}{B}=\frac{10}{\sqrt{14}}$

অতএব, $\overrightarrow{B}$ বরাবর $\overrightarrow{A}$ এর লম্ব অভিক্ষেপ $\frac{10}{\sqrt{14}}$

এখানে, 

$\begin{array}{cc}& \overrightarrow{A}=3\hat{ı}+2\hat{ȷ}+\hat{k},\\ & \overrightarrow{B}=\hat{ı}+2\hat{ȷ}+3\hat{k}\end{array}$

এবং $\overrightarrow{C}=\hat{ı}+2\hat{ȷ}+2\hat{k}$ 

এখন,

$\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ 3& 2& 1\\ 1& 2& 3\end{array}\right|$

$=\hat{i}(6-2)-\hat{j}(9-1)+\hat{k}(6-2)$

$\therefore \overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}=4\hat{i}-8\hat{j}+4\hat{k}$

আবার, 

$\begin{array}{cc}(\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B})\cdot \overrightarrow{C}& =(4\hat{i}-8\hat{j}+4\hat{k})\cdot (\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k})\\ & =\left(4\right)\left(1\right)+(-8)\left(2\right)+\left(4\right)\left(2\right)\\ & =4-16+8\\ & =12-16=-4\end{array}$

আমরা জানি, $(\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B})\cdot \overrightarrow{C}=0$ হলে ভেক্টর তিনটি একই সমতলে অবস্থান করবে।

এখানে, $(\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B})\cdot \overrightarrow{C}\ne 0$ তাই $\overrightarrow{A},\overrightarrow{B}$ ও $\overrightarrow{C}$ ভেক্টর তিনটি একই সমতলে অবস্থান করবে না।