সৃজনশীলঃ ‘A→=3i^−2j^+k^,B→=i^−3j^+5k^ ও C→=2i^+j^−3k^…’ ২০২৬ – ভেক্টর, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

আমরা জানি, কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুকে মূলবিন্দু ধরে যে ভেক্টর অঙ্কন করা হয়, তাকে সীমাবদ্ধ ভেক্টর বলে। অন্যদিকে, প্রসঙ্গ কাঠামোর মূল বিন্দুর সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান যে ভেক্টরের সাহায্যে প্রকাশ করা হয় তাকে অবস্থান ভেক্টর বলে। অর্থাৎ, অবস্থান ভেক্টর সর্বদা মূল বিন্দু - থেকে হিসাব করতে হয়। তাই এটি সীমাবদ্ধ ভেক্টর।

এখানে, $\overrightarrow{B}=\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k},\overrightarrow{C}=2\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}$

$\overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{C}=(\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k})\cdot (2\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k})=2-3-15=-16$
$B=\sqrt{1^2+(-3{)}^2+5^2}=\sqrt{35}$
$C=\sqrt{2^2+1^2+(-3{)}^2}=\sqrt{14}$

ধরি, $\overrightarrow{B}$ ও $\overrightarrow{C}$-এর মধ্যবর্তী কোণ $\theta$
আমরা জানি, $\overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{C}=BC\cos \theta$
বা, $\cos \theta =\frac{\overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{C}}{BC}$ বা, $\cos \theta =\frac{-16}{\sqrt{35}\times \sqrt{14}}\therefore \theta ={136.28}^{\circ }$ অতএব, $\overrightarrow{B}$ ও $\overrightarrow{C}$-এর মধ্যবর্তী কোণ ${136.28}^{\circ }$ ।

এখানে, $\overrightarrow{A}=2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}$

$\therefore |\overrightarrow{A}|=\sqrt{2^2+(-3{)}^2+1^2}=\sqrt{14}$ একক 
$\overrightarrow{B}=3\hat{i}-\hat{j}+5\hat{k}$
$\therefore |\overrightarrow{B}|=\sqrt{3^2+(-1{)}^2+5^2}=\sqrt{35}$ একক 

এবং $\overrightarrow{C}=3\hat{i}+2\hat{j}-4\hat{k}$
$\therefore |\overrightarrow{Q}|=\sqrt{3^2+2^2+(-4{)}^2}=\sqrt{29}$ একক

$|\overrightarrow{A}|,|\overrightarrow{B}|$ ও $\left|\overrightarrow{C}\right|$  কোনো সমকোণী ত্রিভুজের তিনটি বাহু হলে, এর ক্ষুদ্র দুই বাহুর বর্গের সমষ্টি অপর বাহুর বর্গের সমান হবে।

এখন, ত্রিভুজটির ক্ষুদ্র দুই বাহুর বর্গের সমষ্টি,

$\begin{array}{cc}|\overrightarrow{A}{|}^2+|\overrightarrow{C}{|}^2& =(\sqrt{14}{)}^2+(\sqrt{29}{)}^2\\ & =14+29=43\end{array}$

এবং অপর বাহুর বর্গ  $=|\overrightarrow{B}{|}^2=(\sqrt{35}{)}^2=35$

এখানে, $|\overrightarrow{A}{|}^2+|\overrightarrow{C}{|}^2\ne |\overrightarrow{B}{|}^2$

সুতরাং উদ্দীপকে ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ নয়।