সৃজনশীলঃ ‘A=|3+x4141+x3134+x|,B=|2+xb+xc+x2+yb+yc+y4 b2c2|…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২২ – ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $B=\left|\begin{array}{ccc}2+x& b+x& c+x\\ 2+y& b+y& c+y\\ 4& b^2& c^2\end{array}\right|$

$\det \left(B\right)=|B|=\left|\begin{array}{ccc}2+x& b+x& c+x\\ 2+y& b+y& c+y\\ 4& b^2& c^2\end{array}\right|$

$=\left|\begin{array}{ccc}2-b& b-c& c+c\\ 2-b& b-c& c+y\\ 4-b^2& b^2-c^2& c^2\end{array}\right|\left[\begin{array}{c}{c}_1^1=c_1-c_2\\ c_2=c_2-c_3\end{array}\right]$

$=\left|\begin{array}{ccc}2-b& b-c& c+x\\ 2+b& b-c& c+y\\ (2+b)(2-b)& (b+c)(b-c)& c^2\end{array}\right|$

$=(2-b)(b-c)\left|\begin{array}{ccc}1& 1& c+x\\ 1& 1& c+y\\ 2+b& b+c& c^2\end{array}\right|$

$=(2-b)(b-c)\left|\begin{array}{ccc}0& 0& x-y\\ 1& 1& c+y\\ 2+b& b+c& c^2\end{array}\right|[r_1^{\prime }=r_1-r_2]$

$=(2-b)(b-c)(x-y)\left|\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 1& 1& c+y\\ 2+b& b+c& c^2\end{array}\right|$

$=(2-b)(b-c)(x-y)\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 2+b& b+c\end{array}\right|$

= (2-b) (b-c)(x-y) (b+c-2-b)

$=(2-b)(b-c)(x-y)(c-2)$ (Showed)

দেওয়া আছে,    

$A=\left|\begin{array}{ccc}3+x& 4& 1\\ 4& 1+x& 3\\ 1& 3& 4+x\end{array}\right|$

$\det \left(A\right)=|A|=\left|\begin{array}{ccc}3+x& 4& 1\\ 4& 1+x& 3\\ 1& 3& 4+x\end{array}\right|$

$=\left|\begin{array}{ccc}8+x& 4& 1\\ 8+x& 1+x& 3\\ 8+x& 3& 4+x\end{array}\right|[C_1^{\prime }=c_1+c_2+c_3]$

$=(8+x)\left|\begin{array}{ccc}1& 4& 1\\ 1& 1+x& 3\\ 1& 3& 4+x\end{array}\right|$

$=(8+x)\left|\begin{array}{ccc}0& -3-x& -2\\ 0& -2+x& -1-x\\ 1& 3& 4+x\end{array}\right|r_2^{\prime }=r_1-r_2-r_3$

$=(8+x)\left|\begin{array}{cc}-3-x& -2\\ -2+x& -1-x\end{array}\right|$

$=(8+x)(-1)(-1)\left|\begin{array}{c}3+x\\ 2-x& 1+x\end{array}\right|$

$=(8+x)|(3+x)(1+x)-2(2-x)|$

$=(8+x)(3+3x+x+x^2-4+2x)$

$=(8+x)(x^2+6x-1)$

কিন্তু,

det (A) = 0

$\Rightarrow (8+x)(x^2+16x-1)=0$

$\Rightarrow$ 8 + x অথবা, $x^2$ + 16x -1 = 0

এখানে, x = 0 এর অবাস্তব মূল রয়েছে$\Rightarrow$ x = –8

$\therefore$ x = –8

এখন,

$A=\left[\begin{array}{ccc}3-8& 4& 1\\ 4& 1-8& 3\\ 1& 3& 4-8\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}-5& 4& 1\\ 4& -7& 3\\ 1& 3& -4\end{array}\right]$

ট্রেস = কর্ন বরাবর ভূক্তি গুলোর যোগফল $=-5-7-4=16$ (Ans)