সৃজনশীলঃ ‘a3−xb5x=a5+xb3x একটি সমীকরণ।p=1xb+x−c+1+1xc+x−a+1+1xa+x−b+1…’ যশোর বোর্ড ২০২৫ – সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $a^{3-x}{b}^{5x}=a^{5+x}\cdot b^{3x}$

বা, $\frac{b^{5x}}{b^{3x}}=\frac{a^{5+x}}{a^{3-x}}$

বা, $b^{5x-3x}=a^{5+x-3+x}$

বা, $b^{2x}=a^{2x+2}$

বা, $b^{2x}=a^{2x}\cdot a^2$

বা, ${\left(\frac{b}{a}\right)}^{2x}=a^2$

বা, ${\log }_k{\left(\frac{b}{a}\right)}^{2x}={\log }_k{a}^2$ [উভয়পক্ষে ${\log }_k$ নিয়ে]

বা, $2x{\log }_k\left(\frac{b}{a}\right)=2{\log }_{k}a$

বা, $x{\log }_k\left(\frac{b}{a}\right)={\log }_{k}a$ [উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে]

সুতরাং, $x{\log }_k\left(\frac{b}{a}\right)={\log }_{k}a$. (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,

$p=\frac{1}{x^b+x^{-c}+1}+\frac{1}{x^c+x^{-a}+1}+\frac{1}{x^a+x^{-b}+1}$

এবং $a+b+c=0$

বামপক্ষ $=p=\frac{1}{x^b+x^{-c}+1}+\frac{1}{x^c+x^{-a}+1}+\frac{1}{x^a+x^{-b}+1}$

$=\frac{x^{-b}}{x^b\cdot x^{-b}+x^{-c}\cdot x^{-b}+x^{-b}}+\frac{x^a}{x^c\cdot x^a+x^{-a}\cdot x^a+x^a}+\frac{1}{x^a+x^{-b}+1}$

$=\frac{x^{-b}}{1+x^{-(b+c)}+x^{-b}}+\frac{x^a}{x^{(a+c)}+1+x^a}+\frac{1}{x^a+x^{-b}+1}$

$=\frac{x^{-b}}{1+x^a+x^{-b}}+\frac{x^a}{x^{-b}+1+x^a}+\frac{1}{x^a+x^{-b}+1}[\because a+b+c=0]$

$=\frac{x^{-b}}{1+x^a+x^{-b}}+\frac{x^a}{1+x^a+x^{-b}}+\frac{1}{1+x^a+x^{-b}}$

$=\frac{x^{-b}+x^a+1}{1+x^a+x^{-b}}$

$=\frac{(1+x^a+x^{-b})}{(1+x^a+x^{-b})}$

= 1 = ডানপক্ষ 

$\therefore p=1.$ (দেখানো হলো)