সৃজনশীলঃ ‘a=4,b=−4,z=1n(1+im) একটি জটিল…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২২ – জটিল সংখ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $a=4$

$b=\sqrt{-4}=\sqrt{4}i=2i$

প্রদত্ত রাশি $=\sqrt{a+b}=\sqrt{4+2i}$

ধরি, $\sqrt{4+2i}=x+iy$

বা, $4+2i=(x+\mathrm{iy}{)}^2$ [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]

যা, $4+2i=x^2+2\mathrm{xyi}+y^2{i}^2$

$\therefore 4+2i=x^2+2\mathrm{xyi}-y^2$

উভয়পক্ষ হতে বাস্তব ও অবাস্তব অংশ সমীকৃত করে পাই,

$x^2-y^2=4...............\left(i\right)$

এবং $2xy=2............\left(ii\right)$

এখন, $\begin{array}{cc}{(x^2+y^2)}^2& ={(x^2-y^2)}^2+4x^2{y}^2\\ & =4^2+(2xy{)}^2=16+2^2=16+4=20\end{array}$

$\therefore x^2+y^2=2\sqrt{5}$.

(1) নং ও (3) নং যোগ করে পাই

বা, $2x^2=4+2\sqrt{5}=4+2\sqrt{5}$

বা, $x^2=\frac{1}{2}(4+2\sqrt{5})$

বা, $x^2=2+\sqrt{5}$,

$\therefore x=\pm \sqrt{2+\sqrt{5}}$

(3) নং হতে (1) নং বিয়োগ করে পাই,

$x^2+y^2-x^2+y^2=2\sqrt{5}-4$

বা, $2y^2=2\sqrt{5}-4$

বা, $y^2=\frac{1}{2}(2\sqrt{5}-4)$

বা, $y^2=\sqrt{5}-2$

$\therefore y=\pm 2\sqrt{5-2}$

এখন, $\sqrt{a+b}=x+iy$

$\begin{array}{cc}& =\pm \sqrt{2+\sqrt{5}}+i(\pm \sqrt{\sqrt{5}-2})\\ & =\pm (\sqrt{2+\sqrt{5}}+i\sqrt{\sqrt{5}-2})\end{array}$

নির্ণেয় $\sqrt{a+b}=\pm (\sqrt{2+\sqrt{5}}+i\sqrt{\sqrt{5}-2})$ 

প্রদত্ত জটিল সংখ্যা, $z=\frac{1}{n}(i+im)$

এখন, $l=m=3,n=\sqrt{18}$ হলে,

$\begin{array}{cc}z& =\frac{1}{\sqrt{18}}(3+3i)\\ & =\frac{1}{3\sqrt{2}}(3+3i)=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i\end{array}$

$z$ এর মডুলাস, $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$

$=\sqrt{{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^2+{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^2}=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=\sqrt{1}=1$

ধরি. 1 এর ঘনমূল, $\sqrt[3]{1}=x$

বা, $1=x^3$ [উভয়পক্ষকে ঘন করে].

বা, $x^3-1=0$

$\therefore (x-1)(x^2+x+1)=0$

হয়, $(x-1)=0$

বা, $x=1$

অথবা, $x^2+x+1=0$

বা$\begin{array}{cc}& \text{ বা, }x=\frac{-1\pm \sqrt{1-}}{2\cdot 1}\\ & =\frac{-1\pm \sqrt{-3}}{2}\end{array}$

$\therefore 1$ এর ঘনমূল তিनটি যথাক্রনে, $1,\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}+\frac{-1-\sqrt{-3}}{2}$

ঘনমূল তিনটির যোগফল $1+\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}+\frac{-1-\sqrt{-3}}{2}$

$\begin{array}{cc}& =\frac{2-1+\sqrt{-3}-1-\sqrt{-3}}{2}\\ & =\frac{2-2}{2}=\frac{0}{2}=0\end{array}$