সৃজনশীলঃ ‘A=4+44+444+…… এবং S=2(3x−5)−1+4(3x−5)−2+8(3x−5)−3+…………’ ঢাকা বোর্ড ২০২৪ – অসীম ধারা, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $A=4+44+444+$$\dots \dots .$

মনে করি, A ধারাটির n সংখ্যক পদের সমষ্টি,

$S_n=4+44+444+\dots .+n$$\{$তম পদ $\}$

$=4(1+11+111+\dots ..+n\{$ তম পদ $\left\}\right)$

$=\frac{4}{9}(9+99+999+\dots \dots .+n\{$ তম পদ $\left\}\right)$

$=\frac{4}{9}\left\{\right(10-1)+(100-1)+(1000-1)+\dots ..+n\{$ তম পদ $\}$

তমপদ$=\frac{4}{9}\{10+100+1000+\dots ..+n\text{ তম পদ) }-(1+1+1+\dots .+n\{$ তম পদ $\left\}\right)\}$

$=\frac{4}{9}\{10+{10}^2+{10}^3+\dots \dots +n$ তম পদ $)-n\}$

$=\frac{4}{9}\{\frac{10({10}^n-1)}{10-1}-n\}$

$=\frac{4}{9}\{\frac{10({10}^n-1)}{9}-n\}=\frac{40}{81}({10}^n-1)-\frac{4n}{9}$

নির্ণেয় A ধারাটির প্রথম n-সংখ্যক পদের সমষ্টি $\frac{40}{81}({10}^n-1)-\frac{4n}{9}$.

দেওয়া আছে,

$S=2(3x-5{)}^{-1}+4(3x-5{)}^{-2}+8(3x-5{)}^{-3}+\dots \dots$

$=\frac{2}{3x-5}+\frac{4}{(3x-5{)}^2}+\frac{8}{(3x-5{)}^3}+\dots \dots$

ধারাটির ১ম পদ, $a=\frac{x}{3x-5}$

এবং সাধারণ অনুপাত, $r=\frac{4}{(3x-5{)}^2}÷\frac{2}{3x-5}$

$=\frac{4}{(3x-5{)}^2}\times \frac{3x-5}{2}=\frac{2}{3x-5}$

প্রদত্ত ধারাটির (অসীমতক) সমষ্টি থাকবে যদি | $r\mid <1$ হয় অর্থাৎ-1<r<1

বা, $-1<\frac{2}{3x-5}<1$

এখন, $-1<\frac{2}{3x-5}$

বা, $3x-5<-2$

বা, $3x<-2+5$ [উভয়পক্ষে 5 যোগ করে]

বা, $3x<3$

বা, $x<\frac{3}{3}$ [উভয়পক্ষকে 3 দ্যারা ভাগ করে]

$\therefore x<1$

আবার, $\frac{2}{3x-5}<1$

বা, $3x-5>2$

বা, $3x>2+5$ [উভয়পক্ষে 5 যোগ করে]

বা, $3x>7$

$\therefore x>\frac{7}{3}$ [উভয়পক্ষকে 3 দ্বারা ভাগ করে]

$\therefore$ শর্ত : $x<1$ অথবা $x>\frac{7}{3}$

ধারাটির অসমীতক সমষ্টি, $S_{\infty }=\frac{a}{1-r}$

$=\frac{\frac{2}{3x-5}}{1-\frac{2}{3x-5}}=\frac{\frac{2}{3x-5}}{\frac{3x-5-2}{3x-5}}=\frac{2}{3x-5}\times \frac{3x-5}{3x-7}=\frac{2}{3x-7}$

নির্নেয় শর্ত : $x<1$ অথবা $x>\frac{7}{3}$ এবং সমষ্টি $=\frac{2}{3x-7}$