সৃজনশীলঃ ‘a→=4i^+3j^−2k^,b→=4i^+4j^+2k^এবং c→=i^−2j^+2k^ [রাজশাহী…’ – ভেক্টর, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $\overrightarrow{a}=4\hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k},\overrightarrow{b}=4\hat{i}+4\hat{j}+2\hat{k}$

এবং  $\overrightarrow{c}=\hat{i}-2\hat{j}+2\hat{k}$

$\overrightarrow{c}$ বরাবর একক ভেক্টর

$\hat{c}=\frac{\overrightarrow{c}}{\left|\overrightarrow{c}\right|}=\frac{\hat{i}-2\hat{j}+2\hat{k}}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2+2^2}}=\frac{\hat{i}-2\hat{j}+2\hat{k}}{\sqrt{1+4+4}}=\frac{\hat{i}-2\hat{j}+2\hat{k}}{3}$

$\therefore \overrightarrow{c}$ ভেক্টর বরাবর $\overrightarrow{a}$ ভেক্টরের অংশক  $=(\overrightarrow{a}\cdot \hat{c})\hat{c}$

$\begin{array}{cc}& =\left\{\right(4\hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k})\cdot \frac{\hat{i}-2\hat{j}+2\hat{k}}{3}\}\cdot \frac{\hat{i}-2\hat{j}+2\hat{k}}{3}\\ & =\frac{4-6-4}{3}\cdot \frac{\hat{i}-2\hat{j}+2\hat{k}}{3}\\ & =\frac{-6}{9}\cdot (\hat{i}-2\hat{j}+2\hat{k})=\frac{-2}{3}(\hat{i}-2\hat{j}+2\hat{k})\end{array}$

মনে করি, $\overrightarrow{d}=-\frac{2}{3}\hat{i}+\frac{4}{3}\hat{j}-\frac{4}{3}\hat{k}$

এখন, $\overrightarrow{d}$ ও $\overrightarrow{b}$ পরস্পর লম্ব হবে যদি  $\overrightarrow{d}.\overrightarrow{b}=0$ হয়,

$\begin{array}{cc}\therefore \overrightarrow{d}\cdot \overrightarrow{b}& =(-\frac{2}{3}\hat{i}+\frac{4}{3}\hat{j}-\frac{4}{3}\hat{k})\cdot (4\hat{i}+4\hat{j}+2\hat{k})\\ & =-\frac{8}{3}+\frac{16}{3}-\frac{8}{3}=\frac{16}{3}-\frac{16}{3}=0\end{array}$

$\therefore \overrightarrow{d}$ ও $\overrightarrow{b}$ পরস্পর লম্ব।

$\therefore \overrightarrow{c}$ বরাবর $\overrightarrow{a}$ এর অংশক $\overrightarrow{b}$ এর সাথে লষ্ব। (দেখানো হলো)

এখানে, ∆ABC এর AB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D ও E ।

দেখাতে হবে যে, $\mathrm{DE}=\frac{1}{2}\mathrm{BC}$ এবং $\mathrm{DE}\Vert \mathrm{BC}$

∆ADE হতে ভেক্টর যোগের সূত্রানুসারে পাই,

$\begin{array}{cc}& \overrightarrow{\mathrm{DE}}+\overrightarrow{\mathrm{EA}}=\overrightarrow{\mathrm{DA}}\\ \therefore & \overrightarrow{\mathrm{DE}}=\overrightarrow{\mathrm{DA}}-\overrightarrow{\mathrm{EA}}\end{array}$

আবার, $△\mathrm{ABC}$ হতে, $\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}}=\overrightarrow{\mathrm{BA}}$
বা, $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{CA}$
বা, $\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{DA}-2\overrightarrow{EA}$
বা, $\overrightarrow{\mathrm{BC}}=2(\overrightarrow{\mathrm{DA}}-\overrightarrow{\mathrm{EA}})$
বা, $\overrightarrow{\mathrm{BC}}=2\overrightarrow{\mathrm{DE}}$
$\therefore \overrightarrow{\mathrm{DE}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{BC}}$

সুতরাং ভেক্টরের সমতাবিধি অনুসারে পাই, $\mathrm{DE}\Vert \mathrm{BC}$ 

$\therefore \mathrm{DE}=\frac{1}{2}\mathrm{BC}$ এবং  $\mathrm{DE}\Vert \mathrm{BC}$. (দেখানো হলো)