সৃজনশীলঃ ‘A=7sin2⁡θ+3cos2⁡θ B=15cos2⁡α+2sin⁡α যখন…’ যশোর বোর্ড ২০২৩ – ত্রিকোণমিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে,

$A=7{\sin }^2\theta +3{\cos }^2\theta$ এবং $A=4$

বা, $7{\sin }^2\theta +3{\cos }^2\theta =4$

বা, $7{\sin }^2\theta +3(1-{\sin }^2\theta )=4[\therefore {\sin }^2\theta ]$

বা, $7{\sin }^2\theta +3-3{\sin }^2\theta =4$

বা, $4{\sin }^2\theta =1$

বা, ${\sin }^2\theta =\frac{1}{4}$

আবার, ${\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta =1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

$\therefore {\tan }^2\theta =\frac{{\sin }^2\theta }{{\cos }^2\theta }=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{4}{4}}=\frac{1}{3}$

$\therefore \tan \theta =\frac{1}{\sqrt{3}}$ (দেখানো হলো)

উক্ত প্রশ্নে তথ্য অপূর্ণ রয়েছে। সমীকরণটি সমাধান এর সুবিধার্থে $B=7$ ধরে নিই।

$B=15{\cos }^2\alpha +2\sin \alpha =7$ যখন $-\frac{\pi }{2}<\alpha <\frac{\pi }{2}$

বা, $15(1-{\sin }^2\alpha )+2\sin \alpha =7$

বা, $15-15{\sin }^2\alpha +2\sin \alpha =7[\therefore {\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1]$

বা, $15{\sin }^2\alpha -2\sin \alpha -8=0$

বা, $15{\sin }^2\alpha -12\sin \alpha +10\sin \alpha -8=0$

বা, $3\sin \alpha (5\sin \alpha -4)+2(5\sin \alpha -4)=0$

বা, $(3\sin \alpha +2)(5\sin \alpha -4)=0$

হয়, $(3\sin \alpha +2)=0$

বা, $3\sin \alpha =-2$

বা, $\sin \alpha =-\frac{2}{3}$

বা, $\alpha ={\sin }^{-1}(-\frac{2}{3})$

বা, $\alpha =-{41.81}^{\circ }>-\frac{\pi }{2}$

অর্থাৎ, উভয় মানই গ্রহণযোগ্য।

অথবা, $(5\sin \alpha -4)=0$

বা, $5\sin \alpha =4$

বা, $\sin \alpha =\frac{4}{5}$

বা, $\alpha ={\sin }^{-1}\frac{4}{5}$

বা, $\alpha ={53.13}^{\circ }<\frac{\pi }{2}$

$\alpha ={\sin }^{-1}(-\frac{2}{3}),{\sin }^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$ (Ans.)