সৃজনশীলঃ ‘A=9+99+999+……. এবং S=(5x−3)−1+(5x−3)−2+(5x−3)−3+………..…’ সিলেট বোর্ড ২০২৩

$A = 9 + 99 + 999 + \dots \dots$ . এবং $S = (5 x - 3)^{- 1} + (5 x - 3)^{- 2} + (5 x - 3)^{- 3} + \dots \dots \dots .$ . দুইটি অসীম ধারা।

উত্তর:

দেওয়া আছে, $S = (5 x - 3)^{- 1} + (5 x - 3)^{- 2} + (5 x - 3)^{- 3} + \dots \dots$

$x = 1$ হলে, $S = (5.1 - 3)^{- 1} + (5.1 - 3)^{- 2} + (5.1 - 3)^{- 3} + \dots \dots$

$= (5 - 3)^{- 1} + (5 - 3)^{- 2} + (5 - 3)^{- 3} + \dots \dots$

$= 2^{- 1} + 2^{- 2} + 2^{- 3} + \dots \dots$

$= \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \dots \dots$

∴ ধারাটির সাধারণ অনুপাত $= \frac{1}{2^{2}} \div \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ (Ans.)

উত্তর:

$A = 9 + 99 + 999 + \dots \dots . . n$ পদ পর্যন্ত

$= (10 - 1) + (100 - 1) + (1000 - 1) + \dots . n$ পদ পর্যন্ত।

$= (10 - 1) + (10^{2} - 1) + (10^{3} - 1) + \dots \dots \dots . n$ পদ পর্যন্ত

$= 10 + 10^{2} + 10^{3} + \dots \dots \dots . . n$ পদ পর্যন্ত $- n$

$= 10 (1 + 10 + 10^{2} + \dots \dots . . + 10^{n - 1}) - n$

$= 10 (\frac{10^{n} - 1}{10 - 1}) - n$

$= \frac{10}{9} (10^{n} - 1) - n$

∴ ধারাটির প্রথম $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $\frac{10}{9} (10^{n} - 1) - n$ . (Ans.)

উত্তর:

দেওয়া আছে,

$S = (5 x - 3)^{- 1} + (5 x - 3)^{- 2} + (5 x - 3)^{- 3} + \dots \dots \dots \dots . .$

$= \frac{1}{5 x - 3} + \frac{1}{(5 x - 3)^{2}} + \frac{1}{(5 x - 3)^{3}} + \dots \dots \dots \dots \dots . .$

ধারাটির ১ম পদ, $a = \frac{1}{5 x - 3}$

এবং সাধারণ অনুপাত, $r = \frac{1}{(5 x - 3)^{2}} \div \frac{1}{5 x - 3}$

$= \frac{1}{(5 x - 3)^{2}} \times (5 x - 3) = \frac{1}{5 x - 3}$

প্রদত্ত ধারাটির (অসীমতক) সমষ্টি থাকবে যদি, $| r | < 1$ হয়,

অর্থাৎ $- 1 < r < 1$

বা, $- 1 < \frac{1}{5 x - 3} < 1$

এখন, $- 1 < \frac{1}{5 x - 3}$

বা, $5 x - 3 < - 1$

বা, $5 x < - 1 + 3$ [উভয়পক্ষে 3 যোগ করে]

বা, $5 x < 2$

বা, $x < \frac{2}{5}$ [উভয়পক্ষকে 5 দ্বারা ভাগ করে]

আবার, $\frac{1}{5 x - 3} < 1$

বা, $1 < 5 x - 3$

বা, $5 x - 3 > 1$

বা, $5 x > 1 + 3$ [উভয়পক্ষে 3 যোগ করে]

বা, $5 x > 4$

বা, $x > \frac{4}{5}$ [উভয়পক্ষকে 5 দ্বারা ভাগ করে]

∴ প্রদত্ত ধারার অসীমতক সমষ্টি, $S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$

$= \frac{\frac{1}{5 x - 3}}{1 - \frac{1}{5 x - 3}}$

$= \frac{\frac{1}{5 x - 3}}{\frac{5 x - 3 - 1}{5 x - 3}} = \frac{\frac{1}{5 x - 3}}{\frac{5 x - 4}{5 x - 3}}$

$= \frac{1}{5 x - 3} \times \frac{5 x - 3}{5 x - 4} = \frac{1}{5 x - 4}$

∴ নির্ণেয় শর্ত : $x < \frac{2}{5}$ অথবা, $x > \frac{4}{5}$ এবং সমষ্টি $= \frac{1}{5 x - 4}$ (Ans.)

A. Nayan

3 Jun 2026 (3 months ago)

সৃজনশীলঃ ‘A=9+99+999+……. এবং S=(5x−3)−1+(5x−3)−2+(5x−3)−3+………..…’ সিলেট বোর্ড ২০২৩ – অসীম ধারা, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

💡 সৃজনশীল প্রশ্ন ও উত্তর

A. Nayan

3 Jun 2026 (3 months ago)

texthide = ""; texthide = texthide.substring(1) document.write(texthide);

সৃজনশীলঃ ‘A=9+99+999+……. এবং S=(5x−3)−1+(5x−3)−2+(5x−3)−3+………..…’ সিলেট বোর্ড ২০২৩ – অসীম ধারা, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

💡 সৃজনশীল প্রশ্ন ও উত্তর