সৃজনশীলঃ ‘A=ab+ba এবং B=(2×2+px)6…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০২৫ – দ্বিপদী বিস্তৃতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $A=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$

এখন, $A=6$ হলে, $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=6$

বা, $\frac{a^2+b^2}{ab}=6$

বা, $a^2+b^2=6ab=4ab+2ab$

বা, $a^2-2ab+b^2=4ab$

বা, $(a-b{)}^2=4ab$

বা, $\frac{(a-b{)}^2}{4}=ab$

বা, ${\left(\frac{a-b}{2}\right)}^2=ab$

বা, $\log {\left(\frac{a-b}{2}\right)}^2=\log \left(ab\right)$

বা, $2\log \left(\frac{a-b}{2}\right)=\log a+\log b$

$\therefore \log \left(\frac{a-b}{2}\right)=\frac{1}{2}(\log a+\log b)$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $B={(2x^2+\frac{p}{x})}^6$

দ্বিপদী বিস্তৃতির সাহায্যে পাই,

${(2x^2+\frac{p}{x})}^6=(\frac{6}{0}){\left(2x^2\right)}^6{(\frac{p}{x})}^0+(\frac{6}{1}){\left(2x^2\right)}^5{\left(\frac{p}{x}\right)}^1$

$+(\frac{6}{2}){\left(2x^2\right)}^4{\left(\frac{p}{x}\right)}^2+(\frac{6}{3}){\left(2x^2\right)}^3{\left(\frac{p}{x}\right)}^3+(\frac{6}{4})\cdot {\left(2x^2\right)}^2\cdot {\left(\frac{p}{x}\right)}^4+\dots ..$

$=64x^{12}+6.32x^{10}\frac{p}{x}+15.16x^8\cdot \frac{p^2}{x^2}+20.8x^6\cdot \frac{p^3}{x^3}+15\cdot 4x^4\cdot \frac{p^4}{x^4}+\dots ..$

$=64x^{12}+192x^{2}p+240x^6{p}^2+160x^3{p}^3+60p^4+\dots ..$

$\therefore x^3$ এর সহগ $160p^3$

শর্তমতে, $160p^3=1280$

বা, $p^3=\frac{1280}{160}=8$

বা, $p^3=2^3$

$\therefore p=2$

নির্ণেয় মান: $p=2$.