সৃজনশীলঃ ‘A+B+C=π এবং tan⁡θ2=1−e1+etan⁡ρ2.…’ সিলেট সরকারি কলেজ ২০২৫ – সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $\tan \frac{\theta }{2}=\sqrt{\frac{1-e}{1+e}}\tan \frac{\rho }{2}$

বা, ${\tan }^2\frac{\theta }{2}=\frac{1-e}{1+e}{\tan }^2\frac{\rho }{2}$

বা, $\frac{1}{{\tan }^2\frac{\rho }{2}}=\frac{1-e}{(1+e){\tan }^2\frac{\theta }{2}}$

বা, $\frac{1-{\tan }^2\frac{\rho }{2}}{1+{\tan }^2\frac{\rho }{2}}=\frac{(1-e)-(1+e){\tan }^2\frac{\theta }{2}}{(1-e)+(1+e){\tan }^2\frac{\theta }{2}}$

বা, $\cos (2\cdot \frac{\rho }{2})=\frac{(1-{\tan }^2\frac{\theta }{2})-e(1+{\tan }^2\frac{\theta }{2})}{(1+{\tan }^2\frac{\theta }{2})-e(1-{\tan }^2\frac{\theta }{2})}$

$\because \cos 2A=\frac{1-{\tan }^{2}A}{1+{\tan }^{2}A}]$

বা, $\cos \rho =\frac{\frac{1-{\tan }^2\frac{\theta }{2}}{1+{\tan }^2\frac{\theta }{2}}-e}{1-e\frac{1-{\tan }^2\frac{\theta }{2}}{1+{\tan }^2\frac{\theta }{2}}}=\frac{\cos (2\cdot \frac{\theta }{2})-e}{1-\mathrm{ecos}\left(2\frac{\theta }{2}\right)}$

$\therefore \cos \rho =\frac{\cos \theta -e}{1-e\cos \theta }$ (প্রমাণিত)

বামপক্ষ $=\cos A+\cos B+\cos C$

$=2\cos \frac{A+B}{2}\cdot \cos \frac{A-B}{2}+\cos (2\cdot \frac{C}{2})$

$=2\cos (\frac{\pi }{2}-\frac{C}{2})\cos \frac{A-B}{2}+1-2{\sin }^2\frac{C}{2}$

$[\because \Delta \mathrm{ABC}\Omega A+B+C=\pi$

বা, $A+B=\pi -c$

বা, $\frac{1}{2}(A+B)=\frac{1}{2}(\pi -c)]$

$=2\sin \frac{C}{2}\cdot \cos \frac{A-B}{2}+1-2{\sin }^2\frac{C}{2}$

$=2\sin \frac{C}{2}[\cos \frac{A-B}{2}-\sin \frac{C}{2}]+1$

$=1+2\sin \frac{C}{2}[\cos \frac{A-B}{2}-\sin (\frac{\pi }{2}-\frac{A+B}{2})]$

$=1+2\sin \frac{C}{2}[\cos \frac{A-B}{2}-\cos \frac{A+B}{2}]$

$=1+2\sin \frac{C}{2}\cdot 2\sin \frac{A}{2}\cdot \sin \frac{B}{2}$

$=1+4\sin \frac{A}{2}\cdot \sin \frac{B}{2}\cdot \sin \frac{C}{2}$

= ডানপক্ষ

$\therefore \cos A+\cos B+\cos C=1+4\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}$. (क्रयाणिए)