সৃজনশীলঃ ‘ABC একুটি জিভুজ…’ ক্যান্টনমেন্ট পাবলিক স্কুল অ্যান্ড কলেজ ২০২৪ – সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

$a=b\cos C+c\cos B$ এবং $b=c\cos A+a\cos C$

বামপক্ষ $=c(\cos B-\cos A)=c\cdot \cos B-c\cdot \cos A$

$=a-b\cos C-(b-a\cos C)$

$[\because a=b\cos C+c\cdot \cos B;b=c\cdot \cos A+a\cos C]$

$=a-b+a\cos C=b\cos C$

$=(a-b)+(a-b)\cos C$

$=(a-b)+(1+\cos C)$

$=(a-b)\cdot 2{\cos }^2\frac{C}{2}=2(a-b){\cos }^2\frac{C}{2}=$ ডানপক্ষ

$\therefore c(\cos B-\cos A)=2(a-b){\cos }^2\frac{C}{2}$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,

$f\left(x\right)=\sin x$

$\therefore f(A+B-C)=\sin (A+B-C)$

$f(B+C-A)=\sin (B+C-A)$

এবং, $f(C+A-B)=\sin (C+A-B)$

$\text{ L.HS. }=f(A+B-C)+f(B+C-A)+f(C+A-B)$

= $\sin (A+B-C)+\sin (B+C-A)+\sin (C+A-B)$

= $\sin (\pi -2C)+\sin (\pi -2A)+\sin (\pi -2B)$

$[\because A+B+C=\pi ]$

$=\sin 2C+\sin 2A+\sin 2B$

$=2\sin \frac{2A+2B}{2}\cos \frac{2A-2B}{2}+\sin 2C$

$=2\sin (A+B)\cos (A-B)+\sin 2C$

$=2\sin (\pi -C)\cos (A-B)+\sin 2C$

$=2\sin C\cdot \cos (A-B)+2\sin C\cos C$

$=2\sin C[\cos (A-B)+\cos C]$

$=2\sin C[\cos (A-B)+\cos \{\pi -(A+B)\left]\right]$

$=2\sin C[\cos (A-B)-\cos (A+B\left)\right]$

$=2\sin C\cdot 2\sin A\cdot \sin B$

$=4\sin A\sin B\cdot \sin C=R+5.$

$\therefore f(A+B-C)+f(B+C-A)+f(C+A-B)=4\sin A\cdot \sin B\sin C$

$\text{ (Proved) }$