সৃজনশীলঃ ‘△ABC এর AB…’ ক্যান্টনমেন্ট পাবলিক স্কুল ও কলেজ ২০২৬ – সমতলীয় ভেক্টর, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

এখানে, $△\mathrm{ABC}$-এর AB ও AC বাহুদ্ময়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D ও E। D, E যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, $\mathrm{DE}\Vert \mathrm{BC}$ এবং $\mathrm{DE}=\frac{1}{2}\mathrm{BC}$. 

প্রমাণ : D ও E যথাক্রমে AB ও AC এর মধ্যবিন্দু ।
$\therefore \overrightarrow{\mathrm{AD}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$
$△\mathrm{ADE}$ হতে ভেষ্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে পাই,

$\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{DE}}=\overrightarrow{\mathrm{AE}}$

বা, $\overrightarrow{\mathrm{DE}}=\overrightarrow{\mathrm{AE}}-\overrightarrow{\mathrm{AD}}$
বা, $\overrightarrow{\mathrm{DE}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}$
বা, $\overrightarrow{\mathrm{DE}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}})$

আবার, $△\mathrm{ABC}$ হতে ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে,

$\begin{array}{cc}& \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}\\ \therefore & \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}\end{array}$

(1) ও (2) হতে পাই, $\overrightarrow{\mathrm{DE}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{BC}}$

বা, $|\overrightarrow{\mathrm{DE}}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|$

$\therefore \mathrm{DE}=\frac{1}{2}\mathrm{BC}$

আবার, $\overrightarrow{\mathrm{DE}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ ভেক্টরদ্বয়ের ধারক রেখা একই বা সমান্তরাল। কিন্তু এখানে ধারক রেখা এক নয়। সুতরাং $\overrightarrow{\mathrm{DE}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ ভেন্টরদ্বয়ের ধারক রেখাদ্বয় DE এবং BC সমান্তরাল।
∴ $\mathrm{DE}\Vert \mathrm{BC}$ এবং $\mathrm{DE}=\frac{1}{2}\mathrm{BC}$. (প্রমাণিত) 

এখানে BCED ট্রাপিজিয়ামের অসমান্তরাল বাহুদ্বয় BD ও CE এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে M ও N । M,N যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, 

$\mathrm{DE}\Vert \mathrm{MN}\Vert \mathrm{BC}$ এবং $\mathrm{MN}=\frac{1}{2}(\mathrm{BC}+\mathrm{DE})$ 

প্রমাণ : মনে করি, কোনো নির্দিষ্ট মূলবিন্দুর সাপেক্ষে B, C, E ও D বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে b, c, e ও d ।
তাহলে, M বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর $=\frac{1}{2}(b+d)$
$N$ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর $=\frac{1}{2}(\underset{―}{c}+\underset{―}{e})$ 

$\begin{array}{cc}\therefore \overrightarrow{MN}& =\frac{1}{2}(\underset{―}{c}+\underset{―}{e})-\frac{1}{2}(\underset{―}{b}+\underset{―}{d})\\ & =\frac{1}{2}(\underset{―}{c}+\underset{―}{e}-\underset{―}{b}-\underset{―}{d})=\frac{1}{2}\left\{\right(\underset{―}{c}-\underset{―}{b})+(\underset{―}{e}-\underset{―}{d}\left)\right\}\end{array}$ 

$=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{DE}})[\because \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\underset{―}{c}-\underset{―}{b}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{DE}}=\underset{―}{e}-\underset{―}{d}]$ 

বা, $|\overrightarrow{\mathrm{MN}}|=\frac{1}{2}(|\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{DE}}|)=\frac{1}{2}(|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|+|\overrightarrow{\mathrm{DE}}|)$

$\therefore MN=\frac{1}{2}(BC+DE)$

আবার, $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{DE}}$ সমান্তরাল বলে $(\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{DE}})$ ভেক্টরটিও $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{DE}}$ এর সমান্তরাল । অর্থাৎ $\mathrm{DE}\Vert \mathrm{MN}\Vert \mathrm{BC}$
$\therefore \mathrm{DE}\Vert \mathrm{MN}\Vert \mathrm{BC}$ এবং $\mathrm{MN}=\frac{1}{2}(\mathrm{BC}+\mathrm{DE}).($ (প্রমাণিত)