সৃজনশীলঃ ‘△ABC-এর AB ও…’ ভিকারুননিসা নূন স্কুল এন্ড কলেজ ২০২৬ – সমতলীয় ভেক্টর, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

এখানে, $△\mathrm{ABC}$-এর AB ও AC বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D ও E। D, E যোগ করি। 

প্রমাণ করতে হবে যে, $\mathrm{DE}\Vert \mathrm{BC}$ এবং $\mathrm{DE}=\frac{1}{2}\mathrm{BC}$.

প্রমাণ : D ও E যথাক্রমে AB ও AC এর মধ্যবিন্দু।

$\therefore \overrightarrow{\mathrm{AD}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}$

এবং $\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

$△\mathrm{ADE}$ হতে ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে পাই,

$\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{DE}}=\overrightarrow{\mathrm{AE}}$

বা, $\overrightarrow{\mathrm{DE}}=\overrightarrow{\mathrm{AE}}-\overrightarrow{\mathrm{AD}}$

বা, $\overrightarrow{\mathrm{DE}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}$

বা, $\overrightarrow{\mathrm{DE}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}})$ ....... (1)

আবার, $△\mathrm{ABC}$ হতে ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে,

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

$\therefore \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}........2$

(1) ও (2) হতে পাই, $\overrightarrow{\mathrm{DE}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{BC}}$

বা, $|\overrightarrow{\mathrm{DE}}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|$

$\therefore \mathrm{DE}=\frac{1}{2}\mathrm{BC}$

আবার, $\overrightarrow{\mathrm{DE}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ ভেক্টরদ্বয়ের ধারক রেখা একই বা সমান্তরাল।

কিন্তু এখানে ধারক রেখা এক নয়। সুতরাং $\overrightarrow{\mathrm{DE}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ ভেক্টরদ্বয়ের ধারক রেখাদ্বয় DE এবং BÇ সমান্তরাল।

$\therefore \mathrm{DE}\Vert \mathrm{BC}$ এবং $\mathrm{DE}=\frac{1}{2}\mathrm{BC}$. (প্রমাণিত)

এখানে, BCNM ট্রাপিজিয়ামের BN ও CM কর্ণদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও Q।P, Q যোগ করি।

প্রমাণ করতে হবে যে, $\mathrm{PQ}\Vert \mathrm{MN}\Vert \mathrm{BC}$ এবং $\mathrm{PQ}=\frac{1}{2}(\mathrm{BC}-\mathrm{MN}).$

প্রমাণ : মনে করি, কোনো নির্দিষ্ট মূলবিন্দুর প্রেক্ষিতে B, C, N ও M বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে $\underset{―}{b},\underset{―}{c},\underset{―}{n}$ ও $\underset{―}{m}$.

তাহলে $\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\underset{―}{c}-\underset{―}{b}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\underset{―}{n}-\underset{―}{m}$

এখন, P বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর $=\frac{1}{2}(\underset{―}{b}+\underset{―}{n})$

এবং $Q$ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর $=\frac{1}{2}(\underset{―}{c}+\underset{―}{m})$

$\therefore \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\frac{1}{2}(\underset{―}{c}+\underset{―}{m})-\frac{1}{2}(\underset{―}{b}+\underset{―}{n})=\frac{1}{2}(\underset{―}{c}+\underset{―}{m}-\underset{―}{b}-\underset{―}{n})$

$=\frac{1}{2}(\underset{―}{c}-\underset{―}{b}+\underset{―}{m}-\underset{―}{n})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{NM})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{MN})$

এখন, $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{MN}}$ সমান্তরাল কিন্তু বিপরীতমুখী ।

সুতরাং, $(\overrightarrow{\mathrm{BC}}-\overrightarrow{\mathrm{MN}})$ ভেক্টরও $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{MN}}$ এর সমান্তরাল।

অর্থাৎ $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ ভেক্টরও $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{MN}}$ এর সমান্তরাল।

আবার, $|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{BC}}-\overrightarrow{\mathrm{MN}}|$

বা, $\mathrm{PQ}=\frac{1}{2}(|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|-|\overrightarrow{\mathrm{MN}}|)=\frac{1}{2}(\mathrm{BC}-\mathrm{MN})$

$\therefore \mathrm{PQ}\Vert \mathrm{MN}\Vert \mathrm{BC}$ এবং $\mathrm{PQ}=\frac{1}{2}(\mathrm{BC}-\mathrm{MN})$. (প্রমাণিত)