সৃজনশীলঃ ‘△ABC এর BC,AC…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২৫ – ঘন জ্যামিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $△\mathrm{ABC}$ এর $\mathrm{BC},\mathrm{CA}$ ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে M, N ও S.
প্রমাণ করতে হবে যে, $\overrightarrow{\mathrm{AM}}+\overrightarrow{\mathrm{BN}}+\overrightarrow{\mathrm{CS}}=\underset{―}{0}$

প্রমাণ:
$△\mathrm{ABC}$-এ ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে,

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ . . . . . . . . (i)

$△\mathrm{ABM}$ থেকে ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে,

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BM}}=\overrightarrow{\mathrm{AM}}$

বা, $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AM}}[\because M,\mathrm{BC}$ এর মধ্যবিন্দু]

$\therefore \overrightarrow{\mathrm{AM}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ . . . . . . . . (ii)

আবার, $△\mathrm{ABN}$-এ ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে,

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BN}}=\overrightarrow{\mathrm{AN}}$

বা, $\overrightarrow{\mathrm{BN}}=\overrightarrow{\mathrm{AN}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}$
$\therefore \overrightarrow{\mathrm{BN}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}.......\left(iii\right)[\because N,\mathrm{AC}$ এর মধ্যবিন্দু]

এবং $△\mathrm{ACS}$-এ ভেক্টর যোগের ত্রিভূজ বিধি অনুসারে,

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{CS}}=\overrightarrow{\mathrm{AS}}$

বা, $\overrightarrow{\mathrm{CS}}=\overrightarrow{\mathrm{AS}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

$\therefore \overrightarrow{\mathrm{CS}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}.......\left(iv\right)[\because S,AB$ এর মধ্যবিন্দু]

(ii), (iii) ও (iv)নং সমীকরণ যোগ করে পাই,

$\overrightarrow{\mathrm{AM}}+\overrightarrow{\mathrm{BN}}+\overrightarrow{\mathrm{CS}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

বা, $\overrightarrow{\mathrm{AM}}+\overrightarrow{\mathrm{BN}}+\overrightarrow{\mathrm{CS}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$
বা, $\overrightarrow{\mathrm{AM}}+\overrightarrow{\mathrm{BN}}+\overrightarrow{\mathrm{CS}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{AB}})-\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$
বা, $\overrightarrow{\mathrm{AM}}+\overrightarrow{\mathrm{BN}}+\overrightarrow{\mathrm{CS}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}})-\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$
বা, $\overrightarrow{\mathrm{AM}}+\overrightarrow{\mathrm{BN}}+\overrightarrow{\mathrm{CS}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AG}}$ [(i) নং হতে]
$\therefore \overrightarrow{\mathrm{AM}}+\overrightarrow{\mathrm{BN}}+\overrightarrow{\mathrm{CS}}=0$[প্রমাণিত]

ধরি, তিনটি নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে, $r_1=4$ সে.মি., $r_2=5$ সে.মি. ও $r_3=7$ সে.মি.।
এবং সমবৃত্তভূমিক নিরেট সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ, $r=6$ সে.মি.
প্রশ্ন হতে, তিনটি নিরেট গোলকের মোট আয়তন হবে সিলিন্ডারের আয়তনের সমান। যেহেতু, তিনটি নিরেট গোলককে গলিয়েই নিরেট সিলিন্ডারটি তৈরি করা হয়েছে।
আমরা জানি, গোলকের আয়তন $=\frac{4}{3}\pi r^3$ ঘন একক
১ম গোলকের আয়তন, $V_1=\frac{4}{3}\pi r_1{}^3$ ঘন একক

$=\frac{4}{3}\pi \times (4{)}^3$ ঘন সে.মি.
$=\frac{256}{3}\pi$ ঘন সে.মি.

২য় গোলকের আয়তন, $V_2=\frac{4}{3}\pi r_2{}^3$ ঘন একক

$=\frac{4}{3}\pi \times (5{)}^3$ ঘন সে.মি.
$=\frac{500}{3}\pi$ ঘন সে.মি.

এবং ৩য় গোলকের আয়তন, $V_3=\frac{4}{3}\pi r_3{}^3$ ঘন একক

$=\frac{4}{3}\pi \times (7{)}^3$ ঘন সে.মি.
$=\frac{1372}{3}\pi$ ঘন সে.মি.

∴ মোট আয়তন, $V=V_1+V_2+V_3$ ঘন একক

$=(\frac{256\pi }{3}+\frac{500\pi }{3}+\frac{1372\pi }{3})$ ঘন সে.মি.
$=\frac{\pi }{3}(256+500+1372)$ ঘন সে.মি.
$=\frac{2128\pi }{3}$ ঘন সে.মি.

আমরা জানি, সিলিন্ডারের আয়তন, $V^{\prime }=\pi r^{2}h$ ঘন একক যেখানে, সিলিভারের উচ্চতা = h একক
প্রশ্নমতে, $\pi r^{2}h=\frac{2128\pi }{3}$
বা, $\pi \times 6^2\times h=\frac{2128\pi }{3}$
বা, $36h=\frac{2128}{3}$

বা, $h=\frac{2128}{36\times 3}$
বা, $h=\frac{2128}{108}$

$\therefore h=19.703$ সে.মি. (প্রায়)

আবার, আমরা জানি, সিলিভারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল, $A=2\pi \mathrm{rh}$ বর্গ একক

$=2\pi \times 6\times 19.703$ বর্গ সেমি.
$=742.785$ বর্গ সে.মি. (প্রায়)

∴ নিরেট সিলিডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল 742.785 বর্গ সে.মি.(প্রায়) [Ans.]