সৃজনশীলঃ ‘△ABC এর BC,…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০২৪ – জ্যামিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

$△\mathrm{ABC}$-এর BC , AC এবং AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D , E, F। অর্থাৎ AD, BE ও CF তিনটি মধ্যমা, যারা পরস্পর ভরকেন্দ্র O তে মিলিত হয়েছে।

প্রমাণ করতে হবে যে, ${\mathrm{OA}}^2+{\mathrm{OB}}^2+{\mathrm{OC}}^2=\frac{1}{3}({\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{AC}}^2)$

প্রমাণ: $△\mathrm{ABC}$ এর $\mathrm{AD},\mathrm{BE}$ ও CF তিনটি মধ্যমা।

∴ এ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য অনুসারে,

$A{B}^2+C{A}^2=2(A{D}^2+B{D}^2)$ ........ (i)

$A{B}^2+B{C}^2=2(B{E}^2+C{E}^2)$ ........ (ii)

এবং ${\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{CA}}^2=2({\mathrm{CF}}^2+{\mathrm{BF}}^2)$ ........ (iii)

এখন সমীকরণ (i), (ii) ও (iii) নং যোগ করে পাই,

$2A{B}^2+2B{C}^2+2C{A}^2=2A{D}^2+2B{D}^2+2B{E}^2+2C{E}^2+2C{F}^2+2B{F}^2$

বা, $2({\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{CA}}^2)=2({\mathrm{AD}}^2+{\mathrm{BE}}^2+{\mathrm{CF}}^2)+2({\mathrm{BD}}^2+{\mathrm{CE}}^2+{\mathrm{BF}}^2)$

বা, $4({\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{CA}}^2)=4({\mathrm{AD}}^2+{\mathrm{BE}}^2+{\mathrm{CF}}^2)+(2\mathrm{BD}{)}^2$

$+(2\mathrm{CE}{)}^2+(2\mathrm{BF}{)}^2$

বা, $4({\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{CA}}^2)=4({\mathrm{AD}}^2+{\mathrm{BE}}^2+{\mathrm{CF}}^2)+{\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{CA}}^2+{\mathrm{AB}}^2$

বা, $3({\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{CA}}^2)=4({\mathrm{AD}}^2+{\mathrm{BE}}^2+{\mathrm{CF}}^2)$ ........ (iv)

আমরা জানি, ত্রিভুজের মধ্যমাগুলো ছেদ বিন্দুতে $2:1$ অনুপাতে বিভক্ত হয়।

$\therefore \frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{OD}}=\frac{2}{1}$ বা, $\frac{\mathrm{OD}}{\mathrm{AO}}=\frac{1}{2}$ বা, $\frac{\mathrm{OD}+\mathrm{AO}}{\mathrm{AO}}=\frac{1+2}{2}$ [যোজন করে]

বা, $\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AO}}=\frac{3}{2}$ বা, $2\mathrm{AD}=3\mathrm{AO}$ বা, $4{\mathrm{AD}}^2=9{\mathrm{AO}}^2$ [বর্গ করে]

অনুরূপে, $4{\mathrm{BE}}^2=9{\mathrm{BO}}^2$ এবং $4{\mathrm{CF}}^2=9{\mathrm{CO}}^2$

∴ (iv) নং সমীকরণ থেকে পাই,

$3(A{B}^2+B{C}^2+C{A}^2)=9A{A}^2+9B{O}^2+9C{O}^2$

বা, $3({\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{CA}}^2)=9({\mathrm{AO}}^2+{\mathrm{BO}}^2+{\mathrm{CO}}^2)$

বা, ${\mathrm{OA}}^2+{\mathrm{OB}}^2+{\mathrm{OC}}^2=\frac{3}{9}({\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{AC}}^2)$

$\therefore {\mathrm{OA}}^2+{\mathrm{OB}}^2+{\mathrm{OC}}^2=\frac{1}{3}({\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{AC}}^2)$ (প্রমাণিত)

বিশেষ নির্বচন : দেওয়া আছে, $△\mathrm{ABC}$ এর BC বাহু M ও N বিন্দুতে সমান তিনভাগে বিভক্ত হয়। অর্থাৎ, $\mathrm{BM}=\mathrm{MN}=\mathrm{CN}$। A, M ও A, N যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, ${\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2={\mathrm{AM}}^2+{\mathrm{AN}}^2+4{\mathrm{MN}}^2.$

প্রমাণ: $△\mathrm{ABN}$ এর মধ্যমা AM

∴ এ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য অনুসারে,

${\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AN}}^2=2({\mathrm{AM}}^2+{\mathrm{MN}}^2)$ ...... (i)

আবার, $△\mathrm{AMC}$ এ মধ্যমা AN

$\therefore {\mathrm{AM}}^2+{\mathrm{AC}}^2=2({\mathrm{AN}}^2+{\mathrm{MN}}^2)$ ...... (ii)

এখন, (i) ও (ii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,

${\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AN}}^2+{\mathrm{AM}}^2+{\mathrm{AC}}^2=2{\mathrm{AM}}^2+2{\mathrm{MN}}^2+2{\mathrm{AN}}^2+2{\mathrm{MN}}^2$

বা, ${\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2=2{\mathrm{AM}}^2+2{\mathrm{AN}}^2+4{\mathrm{MN}}^2-{\mathrm{AM}}^2-{\mathrm{AN}}^2$

$\therefore {\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2={\mathrm{AM}}^2+{\mathrm{AN}}^2+4{\mathrm{MN}}^2.$ (প্রমাণিত)