সৃজনশীলঃ ‘△ABC এর BC,…’ ঢাকা বোর্ড ২০২৪ – জ্যামিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

বিশেষ নির্বচন : ABC সমকোণী ত্রিভুজের $\angle \mathrm{ACB}={90}^{\circ }$ এবং AD, BE ও CF ত্রিভুজের তিনটি মধ্যমা।

প্রমাণ করতে হবে যে, $2({\mathrm{AD}}^2+{\mathrm{BE}}^2+{\mathrm{CF}}^2)=3{\mathrm{AB}}^2$ 

প্রমাণ: $△\mathrm{ABC}$ এ $\angle \mathrm{ACB}={90}^{\circ }$

$\therefore {\mathrm{AB}}^2={\mathrm{AC}}^2+{\mathrm{BC}}^2$

এখন, $△\mathrm{ABC}$ এ CF মধ্যমা। এ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য অনুসারে পাই,

${\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{AC}}^2=2({\mathrm{CF}}^2+{\mathrm{BF}}^2)=2{\mathrm{CF}}^2+2{\left(\frac{1}{2}\mathrm{AB}\right)}^2$$[\because \mathrm{BF}=\frac{1}{2}\mathrm{AB}]$

বা, ${\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{AC}}^2=2{\mathrm{CF}}^2+\frac{1}{2}{\mathrm{AB}}^2$

বা, $2{\mathrm{CF}}^2=({\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{AC}}^2)-\frac{1}{2}{\mathrm{AB}}^2$

বা, $2{\mathrm{CF}}^2=\frac{2({\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{AC}}^2)-{\mathrm{AB}}^2}{2}$ ............ (i)

অনুরূপভাবে, $2{\mathrm{BE}}^2=\frac{2({\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{AB}}^2)-{\mathrm{AC}}^2}{2}$ ............ (ii)

এবং $2{\mathrm{AD}}^2=\frac{2({\mathrm{AC}}^2+{\mathrm{AB}}^2)-{\mathrm{BC}}^2}{2}$ ............ (iii)

(i) + (ii) + (iii) নং হতে পাই, $2({\mathrm{CF}}^2+{\mathrm{BE}}^2+{\mathrm{AD}}^2)$

$=\frac{4({\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2)-({\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2)}{2}$

$=\frac{3({\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2)}{2}=\frac{3({\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AB}}^2)}{2}[\because {\mathrm{AB}}^2={\mathrm{AC}}^2+{\mathrm{BC}}^2]$

$=\frac{3.2{\mathrm{AB}}^2}{2}$

$\therefore 2({\mathrm{AD}}^2+{\mathrm{BE}}^2+{\mathrm{CF}}^2)=3{\mathrm{AB}}^2$ (প্রমাণিত)

মনে করি, $△\mathrm{ABC}$ এর মধ্যমাত্রয় যথাক্রমে $\mathrm{AD},\mathrm{BE}$ ও CF পরস্পর O বিন্দুতে মিলিত হয়েছে।

প্রমাণ করতে হবে যে, ${\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{AC}}^2=3({\mathrm{OA}}^2+{\mathrm{OB}}^2+{\mathrm{OC}}^2)$

প্রমাণ: $△\mathrm{ABC}$ এর $\mathrm{AD},\mathrm{BE}$ ও CF তিনটি মধ্যমা।

∴ এ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য অনুসারে,

$A{B}^2+C{A}^2=2(A{D}^2+B{D}^2)$ ............ (i)

$A{B}^2+B{C}^2=2(B{E}^2+C{E}^2)$ ............ (ii)

এবং ${\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{CA}}^2=2({\mathrm{CF}}^2+{\mathrm{BF}}^2)$ ............ (iii)

এখন সমীকরণ (i), (ii) ও (iii) নং যোগ করে পাই,

$2{\mathrm{AB}}^2+2{\mathrm{BC}}^2+2{\mathrm{CA}}^2=2{\mathrm{AD}}^2+2{\mathrm{BD}}^2+2{\mathrm{BE}}^2+2{\mathrm{CE}}^2+2{\mathrm{CF}}^2+2{\mathrm{BF}}^2$

বা, $2({\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{CA}}^2)=2({\mathrm{AD}}^2+{\mathrm{BE}}^2+{\mathrm{CF}}^2)+2({\mathrm{BD}}^2+{\mathrm{CE}}^2+{\mathrm{BF}}^2)$

বা, $4({\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{CA}}^2)=4({\mathrm{AD}}^2+{\mathrm{BE}}^2+{\mathrm{CF}}^2)+(2\mathrm{BD}{)}^2+(2\mathrm{CE}{)}^2+(2\mathrm{BF}{)}^2$

বা, $4({\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{CA}}^2)=4({\mathrm{AD}}^2+{\mathrm{BE}}^2+{\mathrm{CF}}^2)+{\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{CA}}^2+{\mathrm{AB}}^2$

বা, $3({\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{CA}}^2)=4({\mathrm{AD}}^2+{\mathrm{BE}}^2+{\mathrm{CF}}^2)$ ......... (iv)

আমরা জানি, ত্রিভুজের মধ্যমাগুলো ছেদ বিন্দুতে $2:1$ অনুপাতে বিভক্ত হয়।

$\therefore \frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{OD}}=\frac{2}{1}$ বা, $\frac{\mathrm{OD}}{\mathrm{AO}}=\frac{1}{2}$ বা, $\frac{\mathrm{OD}+\mathrm{AO}}{\mathrm{AO}}=\frac{1+2}{2}$ [যোজন করে]

বা, $\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AO}}=\frac{3}{2}$ বা, $2\mathrm{AD}=3\mathrm{AO}$ বা, $4{\mathrm{AD}}^2=9{\mathrm{AO}}^2$ [বর্গ করে]

অনুরূপভাবে, $4{\mathrm{BE}}^2=9{\mathrm{BO}}^2$ এবং $4{\mathrm{CF}}^2=9{\mathrm{CO}}^2$

∴ (iv) নং সমীকরণ থেকে পাই,

$3({\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{CA}}^2)=9{\mathrm{AO}}^2+9{\mathrm{BO}}^2+9{\mathrm{CO}}^2$

বা, $3({\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{CA}}^2)=9({\mathrm{AO}}^2+{\mathrm{BO}}^2+{\mathrm{CO}}^2)$

$\therefore {\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{AC}}^2=3({\mathrm{OA}}^2+{\mathrm{OB}}^2+{\mathrm{OC}}^2)$ (প্রমাণিত)