সৃজনশীলঃ ‘△ABC এর পরিব্যাসার্ধ…’ সিলেট বোর্ড ২০১৭ – সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

$a^2+b^2+c^2$

$=(2R\sin A{)}^2+(2R\sin B{)}^2+(2R\sin C{)}^2$

$=4R^2({\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B+{\sin }^{2}C)$

এখন, ${\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B+{\sin }^{2}C$

$=\frac{1}{2}(2{\sin }^{2}A+2{\sin }^{2}B)+{\sin }^{2}C$

$=\frac{1}{2}(1-\cos 2A+1-\cos 2B)+{\sin }^{2}C$

$=\frac{1}{2}(2-\cos 2A-\cos 2B)+{\sin }^{2}C$

$=1-\frac{1}{2}(\cos 2A+\cos 2B)+{\sin }^{2}C$

$=1-\frac{1}{2}\cdot 2\cos (A+B)\cos (A-B)+1-{\cos }^{2}C$

$=2-\cos (\pi -C)\cos (A-B)-{\cos }^{2}C$

$=2+\cos C\cos (A-B)-\cos C$

$=2+\cos C[\cos (A-B)-\cos C]$

$=2+\cos C[\cos (A-B)+\cos (A+B\left)\right][\because A+B+C=\pi ]$

$=2+\cos C\cdot 2\cdot \cos A\cdot \cos B$

$=2+2\cos A\cos B\cos C$

$\therefore a^2+b^2+c^2=4R^2(2+2\cos A\cos B\cos C)$

$\therefore a^2+b^2+c^2=8R^2(1+\cos A\cos B\cos C)$ প্রাণিত)

$\Delta \mathrm{PQS}$ এর $\mathrm{PQ}=s,\mathrm{QS}=p$ এবং $\mathrm{PS}=q$ ধরি।

প্রশ্নমতে, $\frac{1}{\mathrm{PQ}+\mathrm{PS}}=\frac{3}{\mathrm{PS}+\mathrm{PQ}+\mathrm{QS}}-\frac{1}{\mathrm{PS}+\mathrm{QS}}$

বা, $\frac{1}{s+q}=\frac{3}{q+s+p}-\frac{1}{q+p}$

বা, $\frac{1}{s+q}+\frac{1}{q+p}=\frac{3}{q+s+p}$

বা, $\frac{q+p+s+q}{(s+q)(q+p)}=\frac{3}{p+q+s}$

বা, $\frac{2q+p+s}{sq+sp+q^2+pq}=\frac{3}{p+q+s}$

বা, $2pq+2q^2+2qs+p^2+pq+ps+ps+qs+s^2$$=3sq+3sp+3q^2+3pq$

বা, $p^2+s^2-q^2=\mathrm{sp}$

বা, $\frac{p^2+s^2-q^2}{2\mathrm{sp}}=\frac{1}{2}$

বা, $\cos Q=\cos {60}^{\circ }$

$\therefore Q={60}^{\circ }\text{ (Ans.) }$