সৃজনশীলঃ ‘△ ABC এর…’ – ভেক্টর, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

মনে করি, ABC ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলোর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে,

$\overrightarrow{A}=i+2\hat{j}+3\hat{k},\overline{B}=-\hat{i}-\hat{j}+8\hat{k}$ এবং $\overline{C}=-4\hat{i}+4\hat{j}+6\hat{k}$

$\begin{array}{cc}\therefore \overline{\mathrm{AB}}& =(-\hat{i}-\hat{j}+8\hat{k})-(\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k})\\ & =-2\hat{i}-3\hat{j}-5\hat{k}\end{array}$

$\begin{array}{cc}\left|\overline{\mathrm{AB}}\right|& =\sqrt{(-2{)}^2+(-3{)}^2+(-5{)}^2}\\ & =\sqrt{4+9+25}=\sqrt{38}\end{array}$

$\begin{array}{cc}\overline{BC}& =(-4\hat{i}+4\hat{j}+6\hat{k})-(-\hat{i}-\hat{j}+8\hat{k})\\ & =-3\hat{i}+5\hat{j}-2\hat{k}\\ \therefore |\overline{BC}|& =\sqrt{9+25+4}=\sqrt{38}\\ \overline{CA}& =(i+2\hat{j}+3\hat{k})-(-4\hat{i}+4\hat{j}+6\hat{k})=5\hat{i}-2\hat{j}-3\hat{k}\\ \therefore |\overline{CA}|& =\sqrt{25+4+9}=\sqrt{38}\\ \therefore |\overline{AB}|& =|\overline{BC}|=|\overline{CA}|=\sqrt{38}\end{array}$

সুতরাং বিন্দু তিনটি একটি সমবাহু ত্রিভুজ গঠন করে।

অর্থাৎ △ ABC সমবাহু। (প্রমাণিত)

মনে করি,  $\overline{A}=\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$

$\therefore |\bar{A}|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}$

মনে করি, $\bar{A}$ ভেক্টরটি  $x,y$ ও $z$ অক্ষের সাথে যথাক্রমে  $\alpha ,\beta$ এবং $\gamma$ কোণ উৎপন্ন করে।

তাহলে, $\cos \alpha =\frac{\overline{A}\cdot \hat{i}}{|\overline{A}|\cdot |\hat{i}|}=\frac{(\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k})\cdot \hat{i}}{\sqrt{14}\cdot 1}=\frac{1}{\sqrt{14}}$

বা$\begin{array}{cc}& \text{ বা, }\alpha ={\cos }^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{14}}\right)\\ & \cos \beta =\frac{\overline{A}\cdot \hat{j}}{|\overline{A}|\cdot |\hat{j}|}=\frac{(\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k})\cdot \hat{j}}{\sqrt{14}\cdot 1}=\frac{2}{\sqrt{14}}\\ & \therefore \beta ={\cos }^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{14}}\right)\\ & \cos \gamma =\frac{\overline{A}\cdot \hat{k}}{|\overline{A}|\cdot |\hat{k}|}=\frac{(\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k})\cdot \hat{k}}{\sqrt{14}\cdot 1}=\frac{3}{\sqrt{14}}\\ & \therefore \gamma ={\cos }^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{14}}\right)\end{array}$

নির্ণেয় মান: ${\cos }^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{14}}\right),{\cos }^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{14}}\right),{\cos }^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{14}}\right)$