সৃজনশীলঃ ‘ABC ত্রিভুজের দুইটি…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০২৫ – সরলরেখা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

এখানে, $A(8,6)$ ও $B(-7,-2)$ দুইটি বিন্দু।

AB রেখার ঢাল $=\frac{6+2}{8+7}=\frac{8}{15}$

AB রেখার সমীকরণ,

$(y-6)=\frac{8}{15}(x-8)$

বা, $15y-90=8x-64$

বা, $8x-15y+26=0$ .......... (i)

$\mathrm{PD}\perp \mathrm{AB}$,

PD রেখার ঢাল $=\frac{-1}{\frac{8}{15}}=\frac{-15}{8}$

PD রেখার সমীকরণ, $y-1=\frac{-15}{8}(x-1)$

বা, $8y-8=-15x+15$

বা, $15x+8y-23=0$ ......... (ii)

(i) নং ও (ii) নং রেখার ছেদবিন্দুই হবে নির্ণেয় পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক।

(i) নং কে ৪ দ্বারা ও (ii) নং কে 15 দ্বারা গুণ করে যোগ করি,

$64x-120y+208=0$

$225x+120y-345=0$

__________________________

('+' করে) $289x-137=0$

বা,$x=\frac{137}{289}$

$x$ এর মান (ii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$15\times \frac{137}{289}+8y-23=0$

বা, $8y=23-\frac{15\times 137}{289}$

বা, $y=\frac{574}{289}$

$\therefore$ পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক $D(\frac{137}{289},\frac{574}{289})$

$\therefore \mathrm{PD}=\sqrt{{(1-\frac{137}{289})}^2+{(1-\frac{574}{289})}^2}$

$=\sqrt{{\left(\frac{152}{289}\right)}^2+{\left(\frac{-285}{289}\right)}^2}=\frac{19}{17}$ একক 

$\therefore \mathrm{PD}=\frac{19}{17}$ একক। (দেখানো হলো)

ধরি, $△\mathrm{ABC}$ এর অন্তকেন্দ্র $O(\frac{1}{12},\frac{1}{18})$

$\mathrm{AB}$ এর ঢাল $=\frac{-2-6}{-7-8}=\frac{-8}{-15}=\frac{8}{15}$

$AO$ এর ঢাল $=\frac{6-\frac{1}{18}}{8-\frac{1}{12}}=\frac{\frac{107}{18}}{\frac{95}{12}}=\frac{107}{18}\times \frac{12}{95}=\frac{214}{285}$

$BO$ এর ঢাল $=\frac{-2-\frac{1}{18}}{-7-\frac{1}{12}}=\frac{-\frac{37}{18}}{-\frac{85}{12}}=\frac{37}{18}\times \frac{12}{85}=\frac{74}{255}$

$AC$ রেখার ঢাল $m_1$ হলে, $\frac{m_1-\frac{214}{285}}{1+\frac{214}{285}{m}_1}=\frac{\frac{214}{285}-\frac{8}{15}}{1+\frac{214}{285}\times \frac{8}{15}}$

বা, $\frac{285m_1-214}{285+214m_1}=\frac{214\times 15-8\times 285}{285\times 15+214\times 8}$

বা, $\frac{285m_1-214}{285+214m_1}=\frac{930}{5987}=0.155$

বা, $285m_1-214=44.175+33.17m_1$

বা, $251.83m_1=258.175$

বা, $m_1=\frac{258.175}{251.83}=1.03$

$\therefore m_1=1.03$

$\therefore$ AC রেখার সমীকরণ,

$\therefore AC$ রেখার সমীকরণ, $y-6=1.03(x-8)$

$y=6+1.08(x-8)$ ......... (1)

আবার, BC রেখার ঢাল $m_2$ হলে, $\frac{m_2-\frac{74}{255}}{1+\frac{74}{255}{m}_2}=\frac{\frac{74}{255}-\frac{8}{15}}{1+\frac{74}{255}\cdot \frac{8}{15}}$

বা, $\frac{255m_2-74}{255+74m_2}=\frac{74\times 15-8\times 255}{255\times 15+74\times 8}$

বা, $\frac{255m_2-74}{255+74m_2}=\frac{-930}{4417}=-0.211$

বা, $255m_2-74=-53.805-15.614m_2$

বা, $270\cdot 614m_2=20\cdot 195$

বা, $m_2=\frac{20\cdot 195}{270\cdot 614}=0.07$

$\therefore m_2=0.07$

$\therefore BC$ রেখার সমীকরণ, $y+2=0.07(\dot{x}+7)$

বা, $6+1.03(x-8)+2=0.07(x+7)$

বা, $6+1.03x-8.25+2=0.07x+0.49$

বা, $1.03x-0.07x=0.49+8.25=8$

বা, $0.96x=0.74$

বা, $x=\frac{0.74}{0.96}$

$\therefore x=0.77$

$x$ এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$y=6+1.03(0.77-8)$

$\therefore y=-1.45$

$\therefore C$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(0.77,-1.45).$