সৃজনশীলঃ ‘ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল…’ ২০২৬ – সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

এখানে, ত্রিভুজের অর্ধপরিসীমা, p

$\therefore p=\frac{m+n+1}{2}$

এখন, $\frac{1}{3}p(p-1)=\frac{1}{4}mn$ হলে,
বা, $4p(p-1)=3mn$
বা, $4\frac{m+n+1}{2}(\frac{m+n+1}{2}-1)=3mn$
বা, $2(m+n+1)\left(\frac{m+n+1-2}{2}\right)=3mn$
বা, $(m+n+1)(m+n-1)=3mn$
বা, $(m+n{)}^2-1^2=3mn$
বা, $m^2+2mn+n^2-1=3mn$
বা, $m^2+n^2-1=3mn-2mn=mn$
বা, $\frac{m^2+n^2-1^2}{2mn}=\frac{mn}{2mn}$ বা, $\cos A=\frac{1}{2}$
বা, $\cos A=\cos {60}^{\circ }$

$\therefore A={60}^{\circ }$
$△\mathrm{ABC}$ ও $A+B+C={180}^{\circ }$
বা, $B+C={180}^{\circ }-A$
বা, $B+C={180}^{\circ }-{60}^{\circ }$

$\therefore B+C={120}^{\circ }.$

দৃশ্যকল্প-১ হতে, $A=2\theta ,B=\theta$ এবং $C=\theta$

$A+B+C={180}^{\circ }$
বা, $2\theta +\theta +\theta ={180}^{\circ }$
বা, $4\theta ={180}^{\circ }$
বা, $\theta ={45}^{\circ }$

$\therefore A=2\theta =(2\times {45}^{\circ })={90}^{\circ },B={45}^{\circ },C={45}^{\circ }$
বামপক্ষ $={\cos }^2\frac{A}{3}+{\cos }^2\frac{B}{3}{\cos }^2\frac{C}{3}$
$={\cos }^2\frac{{90}^{\circ }}{3}+{\cos }^2\frac{{45}^{\circ }}{3}+{\cos }^2\frac{{45}^{\circ }}{3}$
$={\cos }^2{30}^{\circ }+2{\cos }^2{15}^{\circ }={\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+1+\cos {30}^{\circ }$
$=\frac{3}{4}+1+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3+4+2\sqrt{3}}{4}=\frac{7+2\sqrt{3}}{4}$

ডানপক্ষ $=1+2\cos \frac{A}{3}\cdot \cos \frac{B}{3}\cos \frac{C}{3}$
$=1+2\cos \frac{{90}^{\circ }}{3}\cdot \cos \frac{{45}^{\circ }}{3}\cdot \cos \frac{{45}^{\circ }}{3}$
$=1+2\cdot \cos {30}^{\circ }\cdot {\cos }^2{15}^{\circ }=1+\frac{\sqrt{3}}{2}(1+\cos {30}^{\circ })$
$=1+\frac{\sqrt{3}}{2}(1+\frac{\sqrt{3}}{2})=1+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{4}=\frac{4+2\sqrt{3}+3}{4}=\frac{7+2\sqrt{3}}{4}$
$\therefore {\cos }^2\frac{A}{3}+{\cos }^2\frac{B}{3}{\cos }^2\frac{C}{3}=1+2\cos \frac{A}{3}\cdot \cos \frac{B}{3}\cos \frac{C}{3}$ . (প্রমাণিত)