সৃজনশীলঃ ‘ABC ত্রিভুজের তিনটি…’ ২০২৫ – সরলরেখা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে B ও C বিন্দুর স্থানাঙ্ক B(5, 4) এবং C(2, 2)

ধরি, B ও C এর সংযোজক রেখার মধ্যবিন্দু P

তাহলে, P বিন্দুর স্থানাঙ্ক: $(\frac{5+2}{2},\frac{4+2}{2})=(\frac{7}{2},3)$

এখন, $A(3,2)$ বিন্দু হতে BC এর উপর অঙ্কিত মধ্যমার দৈর্ঘ্য

$AP=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$ একক

$=\sqrt{{(\frac{7}{2}-3)}^2+(3-2{)}^2}$ একক

$=\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+(1{)}^2}$ একক $=\sqrt{\frac{1}{4}+1}$ একক $=\frac{\sqrt{5}}{2}$ একক

অতএব, A বিন্দু হতে BC এর উপর আকৃতি মধ্যমার দৈর্ঘ্য $\frac{\sqrt{5}}{2}$ একক।

দেওয়া আছে, ABC ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুত্রয় A(3, 2), $B(5,4)$ এবং $C(2,2)$

ধরি, ABC ত্রিভুজের AB, BC ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে $D,E$ ও F

তাহলে, D বিন্দুর স্থানাঙ্ক $=(\frac{5+3}{2},\frac{2+4}{2})=(4,3)$

এবং $F$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $=(\frac{3+2}{2},\frac{2+2}{2})=(\frac{5}{2},2)$

$D(4,3),E(\frac{7}{2},3)$ ও $F(\frac{5}{2},2)$ বিন্দু তিনটির সংযোগে গঠিত DEF ত্রিভুজর ক্ষেত্রফল

$=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}4& 3& 1\\ \frac{7}{2}& 3& 1\\ \frac{5}{2}& 2& 1\end{array}\right|$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}\left\{4\right(3-2)-3(\frac{7}{2}-\frac{5}{2})+1(7-\frac{15}{2})\}$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}\{4-3\times 1-\frac{1}{2}\}$ বর্গ একক $=\frac{1}{2}(4-3-\frac{1}{2})$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2})$ বর্গ একক $=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}$ বর্গ একক $=\frac{1}{4}$ বর্গ একক

একইভাবে A(3,2), B(5,4) এবং C $(2,2)$ বিন্দুত্রয় দ্বারা গঠিত ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল

$=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}3& 2& 1\\ 5& 4& 1\\ 2& 2& 1\end{array}\right|$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}\left\{3\right(4-2)-2(5-2)+1(10-8\left)\right\}$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}(3\times 2-2\times 3+2)$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}(6-6+2)$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}\times 2$ বর্গ একক $=1$ বর্গ একক

$\therefore \mathrm{ABC}$ এবং DEF ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের অনুপাত $=\frac{△\mathrm{ABC}}{△\mathrm{DEF}}=\frac{1}{\frac{1}{4}}$

বা, $△\mathrm{ABC}:△\mathrm{DEF}=1:\frac{1}{4}=4:1$

নির্ণেয় অনুপাত $=4:1$.