সৃজনশীলঃ ‘ABC ত্রিভুজের ভূমি…’ যশোর বোর্ড ২০২৪ – জ্যামিতিক অঙ্কন, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

মনে করি, একটি ত্রিভুজের ভূমি a , শিরঃকোণ $\angle x$ এবং অপর দুই বাহুর অন্তর $d=2$ সেমি দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে। অঙ্কনের বিবরণ :

(১) যেকোনো রশ্মি BD থেকে BP $=d=2$ সেমি কেটে নিই।

(২) P বিন্দুতে $\angle x$ এর সম্পূরক কোণের অর্ধেকের সমান $\angle \mathrm{DPM}$ অঙ্কন করি।

(৩) B কে কেন্দ্র করে a এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে অঙ্কিত বৃত্তচাপ PM সরলরেখাকে C বিন্দুতে ছেদ করে। B, C যোগ করি।

(8) C বিন্দুতে $\angle \mathrm{DPC}=\angle \mathrm{PCA}$ আঁকি যেন CA রেখাংশ BD কে A বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে $△\mathrm{ABC}$-ই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ।

বিশেষ নির্বচন : $△\mathrm{ABC}$ এর মধ্যমাত্রয় যথাক্রমে AD, BE ও CF পরস্পর O বিন্দুতে মিলিত হয়েছে ।

প্রমাণ করতে হবে যে, ${\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{AC}}^2=3({\mathrm{OA}}^2+{\mathrm{OB}}^2+{\mathrm{OC}}^2)$

প্রমাণ: $△\mathrm{ABC}$ এর $\mathrm{AD},\mathrm{BE}$ ও CF তিনটি মধ্যমা।

$\therefore$ এ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য অনুসারে, ${\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{CA}}^2=2({\mathrm{AD}}^2+{\mathrm{BD}}^2)$

${\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2=2({\mathrm{BE}}^2+{\mathrm{CE}}^2)$

এবং ${\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{CA}}^2=2({\mathrm{CF}}^2+{\mathrm{BF}}^2)$

এখন সমীকরণ (i), (ii) ও (iii) নং যোগ করে পাই,

$2{\mathrm{AB}}^2+2{\mathrm{BC}}^2+2{\mathrm{CA}}^2=2{\mathrm{AD}}^2+2{\mathrm{BD}}^2+2{\mathrm{BE}}^2+2{\mathrm{CE}}^2+2{\mathrm{CF}}^2+2{\mathrm{BF}}^2$

বা, $2({\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{CA}}^2)=2({\mathrm{AD}}^2+{\mathrm{BE}}^2+{\mathrm{CF}}^2)+2({\mathrm{BD}}^2+{\mathrm{CE}}^2+{\mathrm{BF}}^2)$

বা, $4({\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{CA}}^2)=4({\mathrm{AD}}^2+{\mathrm{BE}}^2+{\mathrm{CF}}^2)+(2\mathrm{BD}{)}^2+(2\mathrm{CE}{)}^2+(2\mathrm{BF}{)}^2$

বা, $4({\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{CA}}^2)=4({\mathrm{AD}}^2+{\mathrm{BE}}^2+{\mathrm{CF}}^2)+{\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{CA}}^2+{\mathrm{AB}}^2$

বা, $3({\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{CA}}^2)=4({\mathrm{AD}}^2+{\mathrm{BE}}^2+{\mathrm{CF}}^2)$

আমরা জানি, ত্রিভুজের মধ্যমাগুলো ছেদ বিন্দুতে $2:1$ অনুপাতে বিভক্ত হয়।

$\therefore \frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{OD}}=\frac{2}{1}$ বা, $\frac{\mathrm{OD}}{\mathrm{AO}}=\frac{1}{2}$

বা, $\frac{\mathrm{OD}+\mathrm{AO}}{\mathrm{AO}}=\frac{1+2}{2}$ [যোজন করে]

বা, $\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AO}}=\frac{3}{2}$ বা, $2\mathrm{AD}=3\mathrm{AO}$ বা, $4{\mathrm{AD}}^2=9{\mathrm{AO}}^2$ [বর্গ করে]

অনুরূপে, $4{\mathrm{BE}}^2=9{\mathrm{BO}}^2$ এবং $4{\mathrm{CF}}^2=9{\mathrm{CO}}^2$

∴ (iv) নং সমীকরণ থেকে পাই,

$3({\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{CA}}^2)=9{\mathrm{AO}}^2+9{\mathrm{BO}}^2+9{\mathrm{CO}}^2$

বা, $3({\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{CA}}^2)=9({\mathrm{AO}}^2+{\mathrm{BO}}^2+{\mathrm{CO}}^2)$

$\therefore {\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{AC}}^2=3({\mathrm{OA}}^2+{\mathrm{OB}}^2+{\mathrm{OC}}^2)$(প্রমাণিত) }