সৃজনশীলঃ ‘A+B+C=π2 …….. (i)এবং…’ রাজশাহী কলেজ ২০২৫ – সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $A+B+C=\frac{\pi }{2}$

বाমপক্ষ $={\cos }^{2}A+{\cos }^{2}C-{\cos }^{2}B$

$=\frac{1}{2}\cdot 2{\cos }^{2}A+\frac{1}{2}\cdot 2{\cos }^{2}C-{\cos }^{2}B$

$=\frac{1}{2}(1+\cos 2A)+\frac{1}{2}(1+\cos 2C)-{\cos }^{2}B$

$=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos 2A+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos 2C-{\cos }^{2}B$

$=1+\frac{1}{2}(\cos 2A+\cos 2C)-{\cos }^{2}B$

$=1+\frac{1}{2}\cdot 2\cos \frac{2A+2C}{2}\cdot \cos \frac{2A-2C}{2}-{\cos }^{2}B$

$=1+\cos (A+C)\cdot \cos (A-C)-{\cos }^{2}B$

$=1+\cos (\frac{\pi }{2}-B)\cdot \cos (A-C)-{\cos }^{2}B$

$[\because A+B+C=\frac{\pi }{2}$

বা, $\cos (A+C)=\cos (\frac{\pi }{2}-B)=\sin B$

$=1+\sin B\cdot \cos (A-C)-(1-{\sin }^{2}B)$

$=1+\sin B\cdot \cos (A-C)-1+{\sin }^{2}B$

$=\sin B[\sin B+\cos (A-C\left)\right]$

$=\sin B[\sin \{\frac{\pi }{2}-(A+C\left)\right\}+\cos (A-C\left)\right]$

$=\sin B[\cos (A+C)+\cos (A-C\left)\right]$

$=\sin B\cdot 2\cos A\cdot \cos C$

$2\cos A\sin B\cos C=$ ডানপক্ষ

$\therefore {\cos }^{2}A+{\cos }^{2}C-{\cos }^{2}B=2\cos A\sin B\cos C$  (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $\cos A=\sin B-\cos C$

বা, $\cos A+\cos C=\sin B$

বা, $2\cos \frac{A+C}{2}\cdot \cos \frac{A-C}{2}=\sin B$

বা, $2\cos \frac{\pi -B}{2}\cdot \cos \frac{A-C}{2}=\sin B[\because \Delta ABC-AA+B+C=\pi ]$

বা, $2\cos (\frac{\pi }{2}-\frac{B}{2})\cdot \cos \frac{A-C}{2}=\sin B$

বা, $2\sin \frac{B}{2}\cdot \cos \frac{A-C}{2}=2\sin \frac{B}{2}\cdot \cos \frac{B}{2}$

বা, $\cos \frac{A-C}{2}=\cos \frac{B}{2}$

বা, $\frac{A-C}{2}=\frac{B}{2}$

বা, $A-C=B$

বা, $A=B+C=\pi -A$

বা, $2A=\pi$

$\therefore A=\frac{\pi }{2}$

যেহেতু ত্রিভুজের একটি কোণ $\frac{\pi }{2}$ বা সমকোণ।

$\therefore △\mathrm{ABC}$ সমকোণী।