সৃজনশীলঃ ‘A+B+C=π2∽π2acos⁡(x+a)=bcos⁡(x−a).…’ সিলেট সরকারি কলেজ ২০২৫ – সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $a\cos (x+a)=b\cos (x-a)$

বা, $a(\cos x\cdot \cos a-\sin x\cdot \sin a)=b(\cos x\cdot \cos a+\sin x\cdot \sin a)$

$[\because \cos (A+B)=\cos A\cdot \cos B-\sin A\cdot \sin B$

$\cos (A-B)=\cos A\cdot \cos B+\sin A\sin B]$

বা, $a\cos x\cdot \cos a-a\sin x\cdot \sin a=b\cos x\cdot \cos a+b\sin x\cdot \sin a$

বা, $a\cos x\cdot \cos a-b\cos x\cdot \cos a=b\sin x\cdot \sin a+a\sin x\sin a$

বা, $(a-b)\cos x\cdot \cos a=(a+b)\sin x\cdot \sin a$

বা, $(a-b)\frac{\cos a}{\sin a}=(a+b)\cdot \frac{\sin x}{\cos x}$

বা, $(a+b)\tan x=(a-b)\cot a$

$\therefore (a+b)\tan x=(a-b)\cot a$. (প্রমাণিত)

[বি: দ্র: a, ẞ ও এর পরিবর্তে A, B ও C হবে]

উদ্দীপকের চিত্র হতে,

$2\alpha +2\beta +2\gamma =\pi$

$\Rightarrow \alpha +\beta +\gamma =\frac{\pi }{2}$

এখন,

বামপক্ষ $={\sin }^2\alpha +{\sin }^2\beta +{\sin }^2\gamma +2\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$

$=\frac{1}{2}(1-\cos 2\alpha +1-\cos 2\beta )+{\sin }^2\gamma +2\sin \alpha \sin \beta \sin \lambda$

$=\frac{1}{2}[2-(\cos 2\alpha +\cos 2\beta \left)\right]+{\sin }^2\gamma +2\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$

$=1-\frac{1}{2}\times 2\cos \frac{2\alpha +2\beta }{2}\cdot \cos \frac{2\alpha -2\beta }{2}+{\sin }^2\gamma +{\sin }^2\gamma +2\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$$\cos C+\cos D=2\cos \frac{C+D}{2}\cos \frac{C-D}{2}$

$=1-\cos (\alpha +\beta )\cos (\alpha -\beta )+{\sin }^2\gamma +2\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$

$=1-\cos (\frac{\pi }{2}-\gamma )\cos (\alpha -\beta )+{\sin }^2\gamma +{\sin }^2\gamma +2\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma [i$ নং থেকে $]$

$=1-\sin \gamma \cos (\alpha -\beta )+{\sin }^2\gamma +{\sin }^2\gamma +2\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$

$=1-\sin \gamma [\cos (\alpha -\beta )-\sin \gamma ]+{\sin }^2\gamma +2\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$

$=1-\sin \gamma [\cos (\alpha -\beta )-\sin [\frac{\pi }{2}-(\alpha +\beta \left)\right)]+{\sin }^2\gamma +2\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$

$=1-\sin \gamma \{\cos (\alpha -\beta )-\cos (\alpha +\beta \left)\right\}+{\sin }^2\gamma +2\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$

$=1-\sin \gamma \times 2\sin \alpha \sin \beta +2\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$

$=1-2\sin \gamma \sin \beta \sin \gamma +2\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$

$=1$ = ডানপক্ষ