সৃজনশীলঃ ‘ABCD চতুর্ভুজের A,…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২৪ – সমতলীয় ভেক্টর, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

এখানে, A(4, 4), B(-4, 2), C( - 2, - 6 ) এবং D(6. - 4) বিন্দুগু'লা ABCD চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষবিন্দু। xy সমতলে বিন্দুগুলোর অবস্থান দেখানো হলো।

AB বাহুর দৈর্ঘ্য ,

$=\sqrt{(-4-4{)}^2+(2-4{)}^2}$

$=\sqrt{(-8{)}^2+(-2{)}^2}$

$=\sqrt{64+4}=\sqrt{68}$ একক

BC বাহুর দৈর্ঘ্য

$=\sqrt{(-2+4{)}^2+(-6-2{)}^2}$

$=\sqrt{2^2+(-8{)}^2}=\sqrt{4+64}=\sqrt{68}$ একক

CD বাহুর দৈর্ঘ্য

$=\sqrt{(6+2{)}^2+(-4+6{)}^2}$

$=\sqrt{8^2+2^2}=\sqrt{64+4}=\sqrt{68}$ একক

AD বাহুর দৈর্ঘ্য $=$

$=\sqrt{(6-4{)}^2+(-4-4{)}^2}$

$=\sqrt{2^2+(-8{)}^2}=\sqrt{4+64}=\sqrt{68}$ একক

$\therefore \mathrm{AB}$ বাহুর দৈর্ঘ্য $=\mathrm{BC}$ বাহুর দৈর্ঘ্য $=\mathrm{CD}$ বাহুর দৈর্ঘ্য $=\mathrm{AD}$ বাহুর দৈর্ঘ্য। অর্থাৎ ABCD চতুর্ভুজের প্রত্যেকটি বাহুই সমান।

সুতরাং বলা যায় ABCD একটি বর্গ অথবা রম্বস।

এখন কর্ণ AC এর দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(4+2{)}^2+(4+6{)}^2}$

$=\sqrt{6^2+{10}^2}=\sqrt{36+100}=\sqrt{136}$ একক

কর্ণ BD এর দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(6+4{)}^2+(-4-2{)}^2}$

$=\sqrt{{10}^2+(-6{)}^2}=\sqrt{100+36}=\sqrt{136}$ একক 

যেহেতু, কর্ণ AC এর দৈর্ঘ্য = কর্ণ BD এর দৈর্ঘ্য

আবার, ${\mathrm{AC}}^2=(\sqrt{136}{)}^2=136$

$A{B}^2+B{C}^2=(\sqrt{68}{)}^2+(\sqrt{68}{)}^2=68+68=136=A{C}^2$

$\therefore$ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী $\angle \mathrm{ABC}$ সমকোণ।

অতএব, ABCD চতুর্ভুজটি একটি বর্গ।

দেওয়া আছে,- ABCD চতুর্ভুজের AB, BC, CD ও AD বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P, Q, R ও S. এখন, P, Q; Q, R; R, S ও S, P যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, PQRS একটি সামান্তরিক।

প্রমাণ : মনে করি, $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\underset{―}{a},\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\underset{―}{b},\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\underset{―}{c},\overrightarrow{\mathrm{DA}}=\underset{―}{d}$

তাহলে, $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\frac{1}{2}(a+b)$

অনুরুপে, $\overrightarrow{\mathrm{QR}}=\frac{1}{2}(\underset{―}{b}+\underset{―}{c}),\overrightarrow{\mathrm{RS}}=\frac{1}{2}(\underset{―}{c}+\underset{―}{d}),\overrightarrow{\mathrm{SP}}=\frac{1}{2}(\underset{―}{d}+\underset{―}{a})$

কিন্তু $(\underset{―}{a}+\underset{―}{b})+(\underset{―}{c}+\underset{―}{d})=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AC}=\underset{―}{0}$

বা, $(\underset{―}{a}+\underset{―}{b})=-(\underset{―}{c}+\underset{―}{d})$

বা, $\frac{1}{2}(a+b)=-\frac{1}{2}(c+d)$

বা, $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=-\overrightarrow{\mathrm{RS}}$

$\therefore \overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{SR}$

তাহলে, $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{SR}}$ এর ধারক রেখাদ্বয় একই বা সমান্তরাল। কিন্তু এখানে ধারক রেখা এক নয়।

$\therefore$ ধারক রেখাদ্বয় সমান্তরাল।

$\therefore \overrightarrow{PQ}\Vert \overrightarrow{SR}$

এবং $|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|=|\overrightarrow{\mathrm{SR}}|$

$\therefore PQ=SR$

$\therefore \mathrm{PQ}$ এবং SR সমান ও সমান্তরাল।

অনুরূপভাবে, QR এবং PS সমান ও সমান্তরাল ।

$\therefore$ PQRS একটি সামান্তরিক। (প্রমাণিত)