সৃজনশীলঃ ‘ABCD চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দু…’ যশোর বোর্ড ২০২৪ – স্থানাঙ্ক জ্যামিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

এখানে, 

$ABCD$ চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দু চারটি যথাক্রমে $A(0,-1),B(-2,3)$, $C(6,7)$ এবং $D(8,3)$.

$xy$ সমতলে বিন্দুগুলোর অবস্থান দেখানো হলো :

AB বাহুর দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(0+2{)}^2+(-1-3{)}^2}$ একক

$=\sqrt{2^2+4^2}$ একক

$=\sqrt{4+16}$ একক

$=\sqrt{20}$ একক $=2\sqrt{5}$ একক

CD বাহুর দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(6-8{)}^2+(7-3{)}^2}$ একক

$=\sqrt{2^2+4^2}$ একক $=\sqrt{4+16}$ একক 

$=\sqrt{20}$ একক $=2\sqrt{5}$ একক

$\therefore \mathrm{AB}$ বাহুর দৈর্ঘ্য $=\mathrm{CD}$ বাহুর দৈর্ঘ্য

আবার, BC বাহুর দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(-2-6{)}^2+(3-7{)}^2}$ একক

$=\sqrt{8^2+4^2}$ একক

$=\sqrt{64+16}$ একক

$=\sqrt{80}$ একক $=4\sqrt{5}$ একক

AD বাহুর দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(0-8{)}^2+(-1-3{)}^2}$ একক

$=\sqrt{8^2+4^2}$ একক

$=\sqrt{64+16}$ একক

$=\sqrt{80}$ একক $=4\sqrt{5}$ একক 

$therefore$ AD বাহুর দৈর্ঘ্য = BC বাহুর দৈর্ঘ্য যেহেতু ABCD চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো সমান সেহেতু চতুর্ভুজটি সামান্তরিক অথবা আয়তক্ষেত্র।

BD কর্ণের দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(-2-8{)}^2+(3-3{)}^2}$ একক

$=\sqrt{(-10{)}^2+0}$ একক $=10$ একক 

AC কর্ণের দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(0-6{)}^2+(-1-7{)}^2}$ একক

$=\sqrt{6^2+8^2}$ একক

$=\sqrt{36+64}$ একক

$=\sqrt{100}$  একক $=10$ একক

$\therefore$ কর্ণ $\mathrm{AC}=$ কর্ণ BD

এখন,  ${\mathrm{BD}}^2={10}^2=100,{\mathrm{AB}}^2=(2\sqrt{5}{)}^2=20$

${\mathrm{AD}}^2=(4\sqrt{5}{)}^2=80$

$\therefore {\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AD}}^2=20+80=100={\mathrm{BD}}^2$

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, $△\mathrm{ABD}$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ এবং $\angle \mathrm{BAD}=$ এক সমকোণ।

যেহেতু ABCD চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো সমান, কর্ণদ্বয় সমান এবং একটি কোণ সমকোণ।

সুতরাং ABCD চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র। ফলে A, B, C ও D বিন্দু চারটি একটি আয়তের শীর্ষবিন্দু। (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $3x-2y=2$

বা, $3x-2y-2=0...........\left(i\right)$

এবং A, B ও C বিন্দু তিনটির স্থানাঙ্ক A( 0,-1 ), B(- 2,3 ), C(6, 7)

এখন, AC রেখার ঢাল, $m_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{7+1}{6-0}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$

$\therefore AC$ রেখার সমীকরণ, $y-y_1=m(x-x_1)$

বা, $y+1=\frac{4}{3}(x-0)$

বা, $3y+3=4x$

বা, $-4x+3y+3=0..............\left(ii\right)$

আবার, AB রেখার ঢাল, $m_2=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{3+1}{-2-0}=\frac{4}{-2}=-2$

$\therefore \mathrm{AB}$ রেখার সমীকরণ,

$y-y_1=m(x-x_1)$

বা, $y+1=-2(x-0)$

বা, $y+1=-2x-$

$\therefore 2x+y+1=0..........\left(iii\right)$

(ⅰ) ও (ii) নং সমীকরণে আড়গুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,

$\frac{x}{-6+6}=\frac{y}{8-9}=\frac{1}{9-8}$.

বা, $\frac{x}{0}=\frac{y}{-1}=\frac{1}{1}$

$\therefore \frac{x}{0}=\frac{1}{1}$

বা, $x=0$

এবং $\frac{y}{-1}=\frac{1}{1}$

বা, $y=-1$

$\therefore$ (i) ও (ii) নং রেখার ছেদবিন্দু $(0,–1)$

আবার, (ii) ও (iii) নং সমীকরণে আড়গুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,

$\frac{x}{3-3}=\frac{y}{6+4}=\frac{1}{-4-6}$

বা, $\frac{x}{0}=\frac{y}{10}=\frac{1}{-10}$

$\therefore \frac{x}{0}=\frac{1}{-10}$

বা, $-10x=0$

$\therefore x=0$

এবং $\frac{y}{10}=\frac{1}{-10}$

বা, $y=\frac{10}{-10}$

$\therefore y=-1$

$\therefore$ (ii) ও (ii) নং রেখার ছেদবিন্দু (0, – 1)

অর্থাৎ, (i), (ii) ও (iii) নং রেখা (0, – 1) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।

$\therefore$ রেখা তিনটি সমবিন্দু। (প্রমাণিত)