সৃজনশীলঃ ‘ABCD চতুর্ভুজটি বৃত্তে…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২৪ – জ্যামিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

বিশেষ নির্বচন : ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো যথাক্রমে AB ও DC এবং AD ও BC। AC ও BD চতুর্ভুজটির দুটি কর্ণ।

প্রমাণ করতে হবে যে, $\mathrm{AC}\cdot \mathrm{BD}=\mathrm{AB}\cdot \mathrm{CD}+\mathrm{BC}\cdot \mathrm{AD}$ ।

অঙ্কন : $\angle \mathrm{BAC}<\angle \mathrm{DAC}$ বলে A বিন্দুতে AD রেখাংশের সাথে $\angle \mathrm{BAC}$ এর সমান $\angle \mathrm{DAE}$ আঁকি যেন AE রেখাংশ BD কর্ণকে E বিন্দুতে ছেদ করে।

প্রমাণ : অঙ্কন অনুসারে, $\angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{DAE}$

বা, $\angle \mathrm{BAC}+\angle \mathrm{EAC}=\angle \mathrm{DAE}+\angle \mathrm{EAC}\therefore \angle \mathrm{BAE}=\angle \mathrm{DAC}$

এখন, $△\mathrm{ABE}$ ও $△\mathrm{ADC}$ এর মধ্যে $\angle \mathrm{BAE}=\angle \mathrm{DAC}$

$\angle \mathrm{ABE}=\angle \mathrm{ACD}$ [একই চাপের উপর বৃত্তস্থ কোণ সমান বলে] এবং অবশিষ্ট $\angle \mathrm{AEB}=$ অবশিষ্ট $\angle \mathrm{ADC}$

$\therefore △\mathrm{ABE}$ ও $△\mathrm{ADC}$ সদৃশকোণী।

$\therefore \frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{CD}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}$

অর্থাৎ, $\mathrm{AC}\cdot \mathrm{BE}=\mathrm{AB}\cdot \mathrm{CD}$ ......... (i)

আবার, $△\mathrm{ABC}$ ও $△\mathrm{AED}$ এর মধ্যে,

$\angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{DAE}$ [অঙ্কন অনুসারে]

$\angle \mathrm{ACB}=\angle \mathrm{ADE}$ [একই চাপের উপর বৃত্তস্থ কোণ সমান বলে]

এবং অবশিষ্ট $\angle \mathrm{ABC}=$ অবশিষ্ট $\angle \mathrm{AED}$

$\therefore △\mathrm{ABC}$ ও $△\mathrm{AED}$ সদৃশকোণী।

$\therefore \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AD}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{DE}}$

অর্থাৎ, $\mathrm{AC}\cdot \mathrm{DE}=\mathrm{BC}\cdot \mathrm{AD}$ ......... (ii)

(i) ও (ii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,

$\mathrm{AC}\cdot \mathrm{BE}+\mathrm{AC}\cdot \mathrm{DE}=\mathrm{AB}\cdot \mathrm{CD}+\mathrm{BC}\cdot \mathrm{AD}$

বা, $\mathrm{AC}(\mathrm{BE}+\mathrm{DE})=\mathrm{AB}\cdot \mathrm{CD}+\mathrm{BC}\cdot \mathrm{AD}$

$\therefore \mathrm{AC}\cdot \mathrm{BD}=\mathrm{AB}\cdot \mathrm{CD}+\mathrm{BC}\cdot \mathrm{AD}[\because \mathrm{BE}+\mathrm{DE}=\mathrm{BD}]$ (প্রমাণিত)

বিশেষ নির্বচন : দেওয়া আছে, AB ব্যাসের ওপর ABCD একটি অর্ধবৃত্ত। AC ও BD জ্যাদ্বয় পরস্পর P বিন্দুতে ছেদ করেছে।

প্রমাণ করতে হবে যে, ।${\mathrm{AB}}^2=\mathrm{AC}\cdot \mathrm{AP}+\mathrm{BD}\cdot \mathrm{BP}।$

অঙ্কন : A, D; B, C ও C, D যোগ করি।

প্রমাণ: $△\mathrm{CPD}$ ও $△\mathrm{APB}-$ এ

$\angle \mathrm{PDC}=\angle \mathrm{PAB}$ [একই চাপ BC-এর ওপর অবস্থিত]

এবং $\angle \mathrm{DPC}=\angle \mathrm{APB}$ [বিপ্রতীপ কোণ বলে]

অবশিষ্ট $\angle \mathrm{PCD}=$ অবশিষ্ট $\angle \mathrm{PBA}$

$\therefore △\mathrm{CPD}$ ও $△\mathrm{APB}$ সদৃশ।

$\therefore \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{DP}}=\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{CP}}$

বা, $\mathrm{AP}\cdot \mathrm{CP}=\mathrm{BP}\cdot \mathrm{DP}$

বা, $\mathrm{AP}.\mathrm{CP}+{\mathrm{AP}}^2=\mathrm{BP}.\mathrm{DP}+{\mathrm{AP}}^2$ [উভয়পক্ষে ${\mathrm{AP}}^2$ যোগ করে]

বা, $\mathrm{AP}(\mathrm{CP}+\mathrm{AP})=\mathrm{BP}\cdot \mathrm{DP}+{\mathrm{DP}}^2+{\mathrm{AD}}^2$

$[\mathrm{AB}$ ব্যাস বলে $\angle \mathrm{ADP}=\angle \mathrm{ADB}={90}^{\circ };\therefore {\mathrm{AP}}^2={\mathrm{AD}}^2+{\mathrm{DP}}^2$ এবং ${\mathrm{AB}}^2={\mathrm{AD}}^2+{\mathrm{BD}}^2$ ]

বা, $\mathrm{AP}\cdot \mathrm{AC}=\mathrm{BP}\cdot \mathrm{DP}+{\mathrm{DP}}^2+{\mathrm{AB}}^2-{\mathrm{BD}}^2$

বা, $\mathrm{AP}\cdot \mathrm{AC}=\mathrm{DP}(\mathrm{BP}+\mathrm{DP})+{\mathrm{AB}}^2-{\mathrm{BD}}^2$

বা, $\mathrm{AP}\cdot \mathrm{AC}=\mathrm{DP}\cdot \mathrm{BD}+{\mathrm{AB}}^2-{\mathrm{BD}}^2$

বা, $\mathrm{AP}\cdot \mathrm{AC}=-\mathrm{BD}(\mathrm{BD}-\mathrm{DP})+{\mathrm{AB}}^2$

বা, $\mathrm{AP}\cdot \mathrm{AC}=-\mathrm{BD}\cdot \mathrm{BP}+{\mathrm{AB}}^2$

$\therefore {\mathrm{AB}}^2=\mathrm{AC}\cdot \mathrm{AP}+\mathrm{BD}\cdot \mathrm{BP}$ (প্রমাণিত)