সৃজনশীলঃ ‘ABCD একটি চতুর্ভুজ।…’ ঢাকা বোর্ড ২০২৬ – সমতলীয় ভেক্টর, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $\mathrm{ABCD}$ চতুর্ভুজের $\mathrm{AB},\mathrm{BC},\mathrm{CD}$ ও $\mathrm{AD}$ বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে $E,F,G$ ও $H$।
এখন, $E,F;F,G;G,H$ ও $H,E$ যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, $\mathrm{EFGH}$ একটি সামান্তরিক।

প্রমাণ: মনে করি, $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\underset{―}{a},\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\underset{―}{b},\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\underset{―}{c},\overrightarrow{\mathrm{DA}}=\underset{―}{d}$

তাহলে, $\overrightarrow{\mathrm{EF}}=\overrightarrow{\mathrm{EB}}+\overrightarrow{\mathrm{BF}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\frac{1}{2}(\underset{―}{a}+\underset{―}{b})$

অনুরূপে, $\overrightarrow{\mathrm{FG}}=\frac{1}{2}(\underset{―}{b}+\underset{―}{c}),\overrightarrow{\mathrm{GH}}=\frac{1}{2}(\underset{―}{c}+\underset{―}{d}),\overrightarrow{\mathrm{HE}}=\frac{1}{2}(\underset{―}{d}+\underset{―}{a})$

কিন্তু $(\underset{―}{a}+\underset{―}{b})+(\underset{―}{c}+\underset{―}{d})=\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\underset{―}{0}$
বা, $(\underset{―}{a}+\underset{―}{b})=-(\underset{―}{c}+\underset{―}{d})$
বা, $\frac{1}{2}(\underset{―}{a}+\underset{―}{b})=-\frac{1}{2}(\underset{―}{c}+\underset{―}{d})$
বা, $\overrightarrow{\mathrm{EF}}=-\overrightarrow{\mathrm{GH}}$
$\therefore \overrightarrow{\mathrm{EF}}=\overrightarrow{\mathrm{HG}}$

তাহলে, $\overrightarrow{\mathrm{EF}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{HG}}$ এর ধারক রেখাদ্বয় একই বা সমান্তরাল। কিন্তু এখানে ধারক রেখা এক নয়।
$\therefore$ ধারক রেখাদ্বয় সমান্তরাল।
$\therefore \overrightarrow{\mathrm{EF}}\Vert \overrightarrow{\mathrm{HG}}$
এবং $|\overrightarrow{\mathrm{EF}}|=|\overrightarrow{\mathrm{HG}}|$
$\therefore \mathrm{EF}=\mathrm{HG}$
$\therefore \mathrm{EF}$ এবং $\mathrm{HG}$ সমান ও সমান্তরাল।

অনুরূপভাবে, $\mathrm{FG}$ এবং $\mathrm{EH}$ সমান ও সমান্তরাল।
$\therefore \mathrm{EFGH}$ একটি সামান্তরিক। (প্রমাণিত)

[বি.দ্র.: প্রশ্নে সমাধান করার জন্য সম্পূর্ণ তথ্য নাই। প্রশ্নে $\mathrm{AB}$ ও $\mathrm{DC}$ বাহুদ্বয় সমান্তরাল ধরে সমাধান করা হলো]

মনে করি, $\mathrm{ABCD}$ চতুর্ভুজে $\mathrm{AB}$ ও $\mathrm{DC}$ বাহুদ্বয় সমান্তরাল এবং $\mathrm{AC}$ ও $\mathrm{BD}$ বাহু কর্ণের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে $P$ ও $Q$। $P,Q$ যোগ করি।

প্রমাণ করতে হবে যে, $\mathrm{PQ}\Vert \mathrm{AB}\Vert \mathrm{DC}$ এবং $\mathrm{PQ}=\frac{1}{2}(\mathrm{AB}-\mathrm{DC})$।

প্রমাণ: মনে করি, কোনো নির্দিষ্ট মূলবিন্দুর প্রেক্ষিতে $A,B,C$ ও $D$ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে $\underset{―}{a},\underset{―}{b},\underset{―}{c}$ ও $\underset{―}{d}$।

তাহলে, $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\underset{―}{b}-\underset{―}{a}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\underset{―}{d}-\underset{―}{c}$
এখন, $P$ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর $=\frac{1}{2}(\underset{―}{a}+\underset{―}{c})$
এবং $Q$ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর $=\frac{1}{2}(\underset{―}{b}+\underset{―}{d})$

$\therefore \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\frac{1}{2}(\underset{―}{b}+\underset{―}{d})-\frac{1}{2}(\underset{―}{a}+\underset{―}{c})$
$=\frac{1}{2}(\underset{―}{b}+\underset{―}{d}-\underset{―}{a}-\underset{―}{c})=\frac{1}{2}\left\{\right(\underset{―}{b}-\underset{―}{a})+(\underset{―}{d}-\underset{―}{c}\left)\right\}$

কিন্তু $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\underset{―}{b}-\underset{―}{a}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\underset{―}{d}-\underset{―}{c}$
অর্থাৎ, $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{DC}})$

এখন, $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{DC}}$ সমান্তরাল। সুতরাং $\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{DC}}$ ভেক্টরও $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{DC}}$ এর সমান্তরাল।
অর্থাৎ $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ ভেক্টরও $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{DC}}$ এর সমান্তরাল।

এবং $\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{DC}}|$
বা, $\mathrm{PQ}=\frac{1}{2}(|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|-|\overrightarrow{\mathrm{DC}}|)=\frac{1}{2}(\mathrm{AB}-\mathrm{DC})$
$\therefore \mathrm{PQ}\Vert \mathrm{AB}\Vert \mathrm{DC}$ এবং $\mathrm{PQ}=\frac{1}{2}(\mathrm{AB}-\mathrm{DC})$। (প্রমাণিত)