সৃজনশীলঃ ‘A+B+C=πএবংA=2π15…’ সোনার বাংলা কলেজ ২০২৪ – সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$A=\frac{2\pi }{15}$

L.H.S.

$=16\cos A\cos 2A\cos 4A\cos 8A$

$=\frac{8}{\sin A}\cdot 2\sin A\cos A\cos 2A\cos 4A\cos 8A$

$=\frac{8}{\sin A}\cdot \sin 2A\cos 2A\cdot \cos 4A\cdot \cos 8A$

$=\frac{4}{\sin A}\cdot 2\sin 2A\cos 2A\cdot \cos 4A\cos 8A$

$=\frac{4}{\sin A}\sin 4A\cos 4A\cos 8A$

$=\frac{42}{\sin A}\cdot 2\sin 9A\cos 4A\cdot \cos 8A$

$=\frac{1}{\sin A}\cdot 2\cdot \sin 8A\cos 8A$

$=\frac{1}{\sin A}\cdot \sin 16A$

$=\frac{\sin 16\cdot A}{\sin A}$

$=\frac{\sin 16\cdot \frac{2\pi }{15}}{\sin 2\frac{\pi }{15}}=\frac{\sin (2\pi +2\pi /15)}{\sin \frac{2\pi }{15}}$

$\sin =\frac{\sin 2\pi /15}{\sin \frac{2\pi }{15}}=1=\text{ R.H.S }$

$\therefore 16\cos A\cos 2A\cos 4A\cos 8A=1\left(Proved\right)$

বিঃদ্রঃ প্রশ্নে $\cos 7A$ এর পরিবর্তে cos8A হবে।

$\text{ LHS}={\sin }^{2}A-{\sin }^{2}B+{\sin }^{2}C$

$=\frac{1}{2}\{2{\sin }^{2}A+2{\sin }^{2}C\}-{\sin }^{2}B$

$=\frac{1}{2}(1-\cos 2A+1-\cos 2C)-{\sin }^{2}B$

$=\frac{1}{2}(2-\cos 2A-\cos 2C)-{\sin }^{2}B$

$=1-\frac{1}{2}(\cos 2A+\cos 2C)-{\sin }^{2}B$

$=1-\frac{1}{2}2\cos (A+C)\cos (A-C)-{\sin }^{2}B$

$=1-\cos (\pi -B)\cos (A-C)-{\sin }^{2}B[\because A+B+C=\pi ]$

$=1-{\sin }^{2}B+\cos B\cos (A-C)$

$={\cos }^{2}B+\cos B\cos (A-C)=\cos B\{\cos B+\cos (A-C\left)\right\}$

$=\cos B[\cos \{\pi -(A+C)\}+\cos (A-C\left)\right]$

$=\cos B\{-\cos (A+C)+\cos (A-C\left)\right\}$

$=\cos B\{\cos (A-C)-\cos (A+C\left)\right\}$

$=\cos B.2\sin A\cdot \sin C=2\sin A\cos B\sin C$

$=\text{ RHS }$

$\therefore {\sin }^{2}A-{\sin }^{2}B+{\sin }^{2}C=2\sin A\cos B\sin C$ (প্রমাণিত)