সৃজনশীলঃ ‘△ABCএর A+B+C=π…’ ঢাকা রেসিডেনসিয়াল মডেল কলেজ ২০২৪ – সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

এখানে, $△\mathrm{ABC}\Omega A+B+C=\pi$

বামপক্ষ $={\cos }^{2}A+{\cos }^{2}B+{\cos }^{2}C+2\cos A\cos B\cos C$$=\frac{1}{2}(2{\cos }^{2}A+2{\cos }^{2}B)+{\cos }^{2}C+2\cos A\cos B\cos C$

$=\frac{1}{2}(1+\cos 2A+1+\cos 2B)+{\cos }^{2}C+2\cos A\cos B\cos C$

$=\frac{1}{2}(2+2\cos \frac{2A+2B}{2}\cos \frac{2A-2B}{2})+{\cos }^{2}C+2\cos A\cos B\cos C$

$=\frac{1}{2}(2+2\cos (A+B)\cos (A-B)!+{\cos }^{2}C+2\cos A\cos B\cos C$

$=1+\cos (\pi -C)\cos (A-B)+{\cos }^{2}C+2\cos A\cos B\cos C$

$[\because △ABC-△A+B+C=\pi ]$

$=1-\cos C\cos (A-B)+{\cos }^{2}C+2\cos A\cos B\cos C$$=1-\cos C[\cos (A-B)-\cos C]+2\cos A\cos B\text{cosC}$

$=1-\cos C[\cos (A-B)-\cos \{\pi -(A+B)\left\}\right]+2\cos A\cos B\cos C$

$=1-\cos C[\cos (A-B)+\cos (A+B\left)\right]+2\cos A\cos B\cos C$

$=1-\cos C\cdot 2\cos \frac{A-B+A+B}{2}\cos \frac{A+B-A+B}{2}+2\cos A\cos B\cos C$

$=1-2\cos A\cos B\cos C+2\cos A\cos B\cos C=1=$ডানপক্ষ

$\therefore {\cos }^{2}A+{\cos }^{2}B+{\cos }^{2}C+2\cos A\cos B\cos C=1$. (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $\mathrm{ABC}$ত্রিভুজে, $a=\sqrt{3}+1$

$b=\sqrt{3}-1$এবং $\angle C={60}^{\circ }$

আমরা জানি, $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

বা. $\cos {60}^{\circ }=\frac{(\sqrt{3}+1{)}^2+(\sqrt{3}-1{)}^2-c^2}{2(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}$

বা, $\frac{1}{2}=\frac{2\left\{\right(\sqrt{3}{)}^2+1^2\}-c^2}{2\left\{\right(\sqrt{3}{)}^2-1^2}=\frac{2(3+1)-c^2}{2(3-1)}=\frac{8-c^2}{2\times 2}$

বা, $\frac{8-c^2}{2}=1$বা, $8-c^2=2$বা, $c^2=6$

$\therefore c=\sqrt{6}[\because$ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না]

আবার, ত্রিভুজের সাইন সূত্র হতে পাই,

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2C$

$\therefore \frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$

বা, $\frac{\sqrt{3}+1}{\sin A}=\frac{\sqrt{6}}{\sin {60}^{\circ }}=\frac{\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{6}\times 2}{\sqrt{3}}=2\sqrt{2}$

বা, $\sin A=\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$

আবার, $\sin A=\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$

$=\sin {60}^{\circ }\cos {45}^{\circ }+\cos {60}^{\circ }\sin {45}^{\circ }$

$=\sin ({60}^{\circ }+{45}^{\circ })=\sin {105}^{\circ }$

$\therefore \angle A={105}^{\circ }$

যখন $\angle A={75}^{\circ }$সূক্ষ্মকোণ, তখন $\angle B={180}^{\circ }-(\angle A+\angle C)$

$\zeta \because A+B+C={180}^{\circ }]$

$={180}^{\circ }-({75}^{\circ }+{60}^{\circ })$

$={180}^{\circ }-{135}^{\circ }={45}^{\circ }$

$\therefore △\mathrm{ABC}$সূক্ষ্মকোণী।

যখন $\angle A-{105}^{\circ }$(স্থূলকোণ) তখন $\angle B={180}^{\circ }-(\angle A+\angle C)$

$[\because A+B+C={180}^{\circ }]$

$={180}^{\circ }-({105}^{\circ }+{60}^{\circ })$

$={180}^{\circ }-{165}^{\circ }={15}^{\circ }$

সেক্ষেত্রে $△\mathrm{ABC}$স্থূলকোণী।

নির্ণেয় সমাধান : $\angle A={75}^{\circ },\angle B={45}^{\circ }$এবং $C=\sqrt{6}$

অথবা, $\angle A={105}^{\circ },\angle B={15}^{\circ }$এবং $C=\sqrt{6}$.