সৃজনশীলঃ ‘(A+Bx)n একটি বীজগাণিতিক…’ আইডিয়াল স্কুল অ্যান্ড কলেজ ২০২৬ – দ্বিপদী বিস্তৃতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

$B=3$ এবং $n=7$ হলে,

প্রদত্ত রাশি $(A+\mathrm{Bx}{)}^n=(A+3x{)}^7$

$\therefore (A+3x{)}^7=A^7+{}^7{C}_1{A}^6(3x)+{}^7{C}_2{A}^5(3x{)}^2+{}^7{C}_3{A}^4(3x{)}^3+{}^7{C}_4{A}^3(3x{)}^4+\dots$

$=A^4+{}^7{C}_1{A}^{6}3x+{}^7{C}_2{A}^5{3}^2{x}^2+{}^7{C}_3{A}^4{3}^3{x}^3+{}^7{C}_4{A}^3{3}^4{x}^4+$

শর্তমতে, ${}^7{C}_4{A}^3{3}^4=22680$
বা, $\frac{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}\cdot 81A^3=22680$
বা, $2835A^3=22680$ বা, $A^3=\frac{22680}{2835}=8=2^3$

$\therefore A=2.$

নির্ণেয় মান : A =2

$A=2$ এবং $B=1$ হলে, প্রদত্ত রাশি $=(A+\mathrm{Bx}{)}^n=(2+x{)}^n$
$(2+x{)}^n$ এর বিস্তৃতিতে, $(r+1)$ তম পদ, $T_{r+1}={}^n{C}_2{2}^{n-r}{x}^r$

$\therefore 5$ তম পদ $T_5=T_{4+1}={}^n{C}_4\cdot 2^{n-4}\cdot x^4$

এবং 6 তম পদ $T_6=T_{5+1}={}^n{C}_5{2}^{n-5}\cdot x^5$

শর্তমতে, ${}^n{C}_4\cdot 2^{n-4}={}^n{C}_5{2}^{n-5}$

বা, $\frac{n!}{4!(n-4)!}\cdot 2^{n-4}=\frac{n!}{5!(n-5)!}{2}^{n-4-1}$

বা, $\frac{2^{n-4}}{4!(n-4)(n-5)!}=\frac{2^{n-4}\cdot 2^{-1}}{5.4!(n-5)!}$

বা, $\frac{1}{n-4}=\frac{2^{-1}}{5}=\frac{1}{5\times 2}$

বা, $\frac{1}{n-4}=\frac{1}{10}$

বা, $n-4=10$

$\therefore n=14$

নির্ণেয় মান $n=14$.