সৃজনশীলঃ ‘(A+Bx)n একটি বীজগাণিতিক…’ ঢাকা বোর্ড ২০২৪ – দ্বিপদী বিস্তৃতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

প্রদত্ত বীজগাণিতিক রাশি = (A+Bx) ${}^n$

এখন, $A=3$ এবং $B=1$ হলে, বীজগাণিতিক রাশিটি হবে $(3+x{)}^n$

দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার করে পাই,

$\begin{array}{cc}(3+x{)}^n& =3^n+{}^n{C}_1\cdot 3^{n-1}\cdot x^1+{}^n{C}_2\cdot 3^{n-2}\cdot x^2+{}^n{C}_3\cdot 3^{n-3}\cdot x^3\\ & +{}^n{C}_4\cdot 3^{n-4}\cdot x^4+{}^n{C}_5\cdot 3^{n-5}\cdot x^5+{}^n{C}_6\cdot 3^{n-6}\cdot x^6+\dots \dots \dots \end{array}$

এখানে, রাশিটির ৫ম পদের সহগ $={}^n{C}_4\cdot 3^{n-4}$

এবং ৬ষ্ঠ পদের সহগ $={}^n{C}_5\cdot 3^{n-5}$

রাশিটির বিস্তৃতির ৫ম পদ ও ৬ষ্ঠ পদের সহগ সমান হলে,

${}^n{C}_4\cdot 3^{n-4}={}^n{C}_5\cdot 3^{n-5}$

বা, $\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}\cdot \frac{3^n}{3^4}=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}\cdot \frac{3^n}{3^5}$

বা, $\frac{3^n}{3^4}=\frac{n-4}{5}\cdot \frac{3^n}{3^5}$

বা, $1=\frac{n-4}{5}\cdot \frac{1}{3}$

বা, $n-4=15$

বা, $n=15+4=19$

নির্ণেয় মান : $n=19$.

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\ln \frac{7-x}{7+x}$

লগারিদম শুধুমাত্র ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত হয়।

$\therefore f\left(x\right)\in R$ হরে যদি $\frac{7-x}{7+x}>0$ হয়।

এখন, $\frac{7-x}{7+x}>0$ হবে যদি

(i) $7-x>0$ এবং $7+x>0$ হয়

অথবা, (ii) $7-x<0$ এবং $7+x<0$ হয়

(i)নং হতে পাই, $-x>-7$ এবং $x>-7$

বা, $x<7$ বা, $x>-7$

$\therefore$ ডোমেন $=\{x\in R:x<7\}\cap \{x\in R:x>-7\}$

$=(-\infty ,7)\cap (-7,\infty )=(-7,7)$

(ii)নং হতে পাই, $7<x$ এবং $x<-7$

বা, $x>7$ বা, $x<-7$

$\therefore$ ডোমেন $=\{x\in R:x>7\}\cap \{x\in R:x<-7\}$

$=(7,\infty )\cap (-\infty ,-7)=\varnothing$

$\therefore f\left(x\right)$ এর ডোমেন, $D_f=\left(i\right)$ ও (ii) থেকে প্রাপ্ত ডোমেনের সংযোগ

$=(-7,7)\cup \varnothing =(-7,7)$