সৃজনশীলঃ ‘a=cosecθ এবং b=cot⁡θ.…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০২৪ – ত্রিকোণমিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $A=\mathrm{cosec}\theta$ এবং $b=\cot \theta$

এখন, $a+b=p$ হলে, $\mathrm{cosec}\theta +\cot \theta =p$

বা, $\frac{1}{\sin \theta }+\frac{\cos \theta }{\sin \theta }=p$

বা, $\frac{1+\cos \theta }{\sin \theta }=p$

বা, $\frac{(1+\cos \theta {)}^2}{{\sin }^2\theta }=p^2$ [বর্গ করে]

বা, $\frac{(1+\cos \theta {)}^2}{1-{\cos }^2\theta }=p^2$

বা, $\frac{(1+\cos \theta {)}^2}{(1+\cos \theta )(1-\cos \theta )}=p^2$

বা, $\frac{1+\cos \theta }{1-\cos \theta }=p^2$

বা, $\frac{1+\cos \theta +1-\cos \theta }{1+\cos \theta -1+\cos \theta }=\frac{p^2+1}{p^2-1}$ [যোজন-বিয়োজন করে]

বা, $\frac{2}{2\cos \theta }=\frac{p^2+1}{p^2-1}$ বা, $\frac{1}{\cos \theta }=\frac{p^2+1}{p^2-1}$

$\therefore \sec \theta =\frac{p^2+1}{p^2-1}$. (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $a=\mathrm{cosec}\theta$ এবং $b=\cot \theta$

এখন, $3a^2+2b^2=18$ হলে,

$3{\mathrm{cosec}}^2\theta +2{\cot }^2\theta =18$

বা, $3{\mathrm{cosec}}^2\theta +2({\mathrm{cosec}}^2\theta -1)=18[\because {\cot }^2\theta ={\mathrm{cosec}}^2\theta -1]$

বা, $3{\mathrm{cosec}}^2\theta +2{\mathrm{cosec}}^2\theta -2=18$

বা, $5{\mathrm{cosec}}^2\theta =18+2$

বা, $5{\mathrm{cosec}}^2\theta =20$

বা, ${\mathrm{cosec}}^2\theta =\frac{20}{5}$

বা, ${\mathrm{cosec}}^2\theta =4$

বা, $\frac{1}{{\sin }^2\theta }=4[\because \mathrm{cosec}\theta =\frac{1}{\sin \theta }]$

বা, ${\sin }^2\theta =\frac{1}{4}$

$\therefore \sin \theta =\pm \frac{1}{2}$

১ম চতুর্ভাগে, $\sin \theta =\frac{1}{2}=\sin \frac{\pi }{6}\therefore \theta =\frac{\pi }{6}$

২য় চতুর্ভাগে, $\sin \theta =\frac{1}{2}=\sin (\pi -\frac{\pi }{6})=\sin \frac{5\pi }{6}\therefore \theta =\frac{5\pi }{6}$

৩য় চতুর্ভাগে, $\sin \theta =-\frac{1}{2}=\sin (\pi +\frac{\pi }{6})=\sin \frac{7\pi }{6}\therefore \theta =\frac{7\pi }{6}$

৪র্থ চতুর্ভাগে, $\sin \theta =-\frac{1}{2}=\sin (2\pi -\frac{\pi }{6})=\sin \frac{11\pi }{6}\therefore \theta =\frac{11\pi }{6}$

নির্ণেয় মান: $\theta =\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6},\frac{7\pi }{6},\frac{11\pi }{6}$.