সৃজনশীলঃ ‘আজ গণিতের PROFESSOR…’ a – ভেক্টর, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

ধরি, $\overrightarrow{A}=3\hat{i}+2\hat{j}+6\hat{k}$

এবং $\overrightarrow{B}=\hat{i}-4\hat{j}-3\hat{k}$

এখানে,

$\begin{array}{cc}\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}=(3\hat{i}& +2\hat{j}+6\hat{k})\cdot (\hat{i}-4\hat{j}-3\hat{k})\\ & =3\times 1+2\times (-4)+6\times (-3)\\ & =3-8-18=3-26=-23\\ \left|\overrightarrow{A}\right|& =\sqrt{3^2+2^2+6^2}\\ & =\sqrt{9+4+36}=\sqrt{49}=7\end{array}$

$\overrightarrow{A}$ বরাবর $\overrightarrow{B}$ এর উপাংশ $=\left(\frac{\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}}{\left|\overrightarrow{A}\right|}\right)\cdot \left(\frac{\overrightarrow{A}}{\mid \overrightarrow{A}}\right)$

$\begin{array}{cc}& =\left(\frac{-23}{7}\right)\cdot \left(\frac{3\hat{i}+2\hat{j}+6\hat{k}}{7}\right)\\ & =\frac{-23}{49}(3\hat{i}+2\hat{j}+6\hat{k})\end{array}$

নির্ণেয় উপাংশ $\frac{-23}{49}(3\hat{i}+2\hat{j}+6\hat{k})$

PROFESSOR শব্দটিতে মোট 9 টি অক্ষর যার 'মধ্যে R, O এবং S প্রত্যেকে 2 বার করে আছে। এই শব্দটিতে 6টি আলাদা অক্ষর আছে। সবগুলি অক্ষর থেকে 4টি অক্ষর নিম্নোক্তভাবে নির্বাচন করা যায়-

(a) সবগুলি ভিন্ন ভিন্ন।
(b) 2টি এক জাতীয়, অপর 2টি ভিন্ন ভিন্ন।
(c) 2টি এক জাতীয়, অপর 2টি একজাতীয়।

এখন,
(a) এর ক্ষেত্রে বিন্যাস সংখ্যা $={}^6{C}_4\times 4!=360$

(b) এর ক্ষেত্রে বিন্যাস সংখ্যা $={}^3{C}_1\times {}^5{C}_2\times \frac{4!}{2!}=360$

(c) এর ক্ষেত্রে বিন্যাস সংখ্যা $={}^3{C}_2\times \frac{4!}{2!2!}=3\times 6=18$

$\therefore$ মোট বিন্যাস  $=360+360+18=738$.
$\therefore$ মোট 738 ভাবে সাজানো যাবে।