সৃজনশীলঃ ‘A→=ı^+ȷ^−k^ ও B→=2ı^−2ȷ^−3k^…’ যশোর বোর্ড ২০২৩ – ভেক্টর, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

একই জাতীয় দুটি ভেক্টরের যোগফল ও বিয়োগফলের মান সমান হতে পারে।

দুটি ভেক্টর ও$\overrightarrow{A}ও\overrightarrow{B}$ এর মধ্যবর্তী কোণ $\theta$ হলে ও$\overrightarrow{A}ও\overrightarrow{-B}$ এর মধ্যবর্তী

কোণ $\pi -\theta$ হবে।

ও$\overrightarrow{A}ও\overrightarrow{B}$ এর যোগফল ও বিয়োগফলের মান সমান হলে,

$|\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}|=|\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}|$

বা, $\sqrt{A^2+B^2+2AB\cos \theta }=$

$\sqrt{A^2+B^2+2\mathrm{AB}\cos (\pi -\theta )}$ 

বা, $A^2+B^2+2\mathrm{AB}\cos \theta =$

$A^2+B^2+2\mathrm{AB}\cos (\pi -\theta )$ 

বা, $\cos \theta =\cos (\pi -\theta )$ 

$\therefore \theta =\pi -\theta$ 

$\therefore \theta =\frac{\pi }{2}$

অর্থাৎ দুটি ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ $\frac{\pi }{2}$ হলে, ভেক্টর দুটির যোগফল ও বিয়োগফলের মান সমান হবে।

মনেকরি, দুটি ভেক্টর ও$\overrightarrow{A}ও\overrightarrow{B}$ দ্বারা গঠিত চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল $\Delta$

এখানে,

$\begin{array}{cc}& \overrightarrow{A}=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}\\ & \overrightarrow{B}=2\hat{i}-2\hat{j}-3\hat{k}\end{array}$

আমরা জানি,

$\Delta =|\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}|$

এখন, 

$\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ 1& 1& -1\\ 2& -2& -3\end{array}\right|$

বা, $\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}=(-3-2)\hat{i}-(-3+2)\hat{j}+(-2-2)\hat{k}$
বা, $\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}=-5\hat{i}+\hat{j}-4\hat{k}$

$\therefore$ চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল, 

$\begin{array}{cc}\Delta & =|\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}|\\ & =\sqrt{(-5{)}^2+1^2+(-4{)}^2}\end{array}$

=√42 বর্গ একক (Ans.)

আমরা জানি, দুটি ভেক্টর ও$\overrightarrow{A}ও\overrightarrow{B}$ পরস্পর লম্ব হলে এদের স্কেলার গুণফল শূন্য হবে।

এখানে,

$\begin{array}{cc}& \overrightarrow{A}=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}\\ & \overrightarrow{B}=2\hat{i}-2\hat{j}-3\hat{k}\end{array}$

অর্থাৎ, $\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}=0$

এখন,

$\begin{array}{cc}\therefore \overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}& =(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})\cdot (2\hat{i}-2\hat{j}-3\hat{k})\\ & =(1\times 2)+1\times (-2)+(-1)\times (-3)\\ & =2-2+3\\ & =3\end{array}$

যেহেতু $\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}\ne 0$ তাই বলা যায়, ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব নয়।